Деление на 99

Среди всех чисел, которые получаются всевозможными перестановками натурального ряда цифр 1,2,...,9, найти числа, которые делятся на 99.

Сначала вспомни признак делимости на 11, примени и подумай.

Пусть [m]n=\overline{a_9a_8\cdots a_2a_1}[/m] есть десятичная запись натурального числа, полученного некоторой перестановкой цифр. Должно быть понятно, что [m]n[/m] делится на [m]99[/m] тогда и только тогда, когда [m]n[/m] делится одновременно на [m]9[/m] и на [m]11[/m].

Известно, что [m]n[/m] делится на [m]9[/m] тогда и только тогда, когда сумма его цифр [m]a_1+a_2+\cdots+a_9[/m] делится на [m]9[/m]; число делится на [m]11[/m] тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма [m]a_1-a_2+a_3-\cdots-a_8+a_9[/m] делится на [m]11[/m].

Т.к. в данном случае [m]a_1+a_2+\cdots+a_9 = 45[/m], то с делимостью на [m]9[/m] все понятно.

Пусть [m]s_+ = a_1+a_3+a_5+a_7+a_9[/m] и [m]s_- = a_2+a_4+a_6+a_8[/m]. Всего у нас пять нечетных цифр и четыре четных, из этого следует, что [m]s_+[/m] и [m]s_-[/m] имеют различную четность, следовательно [m]s_+ — s_-[/m] есть нечетное число. Легко понять, что [m]-15 \le s_+ — s_- \ge 25[/m]. Значит (т.к. [m]s_+ — s_- [/m] нечетно и делится на [m]11[/m]) [m]s_+ — s_-=-11[/m] или [m]s_+ — s_-=11[/m].

Т.к. [m]s_+ + s_- =45[/m], то решив две простейшие системы линейных уравнений мы получаем, что [m](s_+,s_-)=(28,17)[/m] или [m](s_+,s_-)=(17,28)[/m].

Дальше, к сожалению, надо делать какой-то перебор (т.е. тут можно решать аналитически, но игра явно не стоит свеч, легче перебрать).

Пусть [m]s_+ = a_1+a_3+a_5+a_7+a_9 = 17[/m]. Т.к. [m]s_+\ge 1+2+3+4+5=15[/m], то надо добавить [m]2[/m]. Ну как это можно сделать? Можно добавить к одной из цифр [m]2[/m] (два способа: [m]1+2+3+6+5=1+2+3+4+7[/m]) или к двум цифрам по [m]1[/m] (всего один способ: [m]1+2+3+5+6[/m]). Каждый из этих способов породит [m]5!\cdot 4! = 2880[/m] решений (вот одно из них: [m]142738695[/m]).

Случай [m]s_+ = 28[/m] я оставляю заинтересованному читателю в качестве нудного упражнения.

Вот еще одно из решений 152638497

Вообще у меня была задача. Найти наименьшее из таких чисел. И всем спасибо.

1) У меня есть задача, мне надо ее решить, но я не знаю как.

2) Я пойду в Интернет и попрошу его решить мне другую задачу.

3) Интернет решил мне другую задачу, теперь я знаю как решать другую задачу, но не знаю как решать ту задачу, которую мне надо решить.

4) ????

5) Profit

После Вашего решения мне не составило труда решить мою задачу.

Записали пятизначное число и все числа , получающиеся перестановками его цифр . У каждого из них нашли остаток при делении на 11 . Доказать , что есть остаток , который не встречается среди полученных ни разу.

Здравствуйте. Мне нужно повторить алгебру с самого начала. Пока не могу идти к репетитору. А до тех пор хочу сделать тесты.

Подскажите пожалуйста решить задания такого типа:

1. Найдите сумму значений а, при которых шестизначное число 52438а делится на 6.

2. Сколько из трехзначных чисел, в записи которых участвуют только 0 и 3, делятся на 9 без остатка.

Это из раздела Натуральные числа. Заранее спасибо.

Мне предложена задача, обучаюсь со специализацией теория вероятностей и математическая статистика не в России.. Может быть дадите советы по теме.
Имеется реализация объёма n полиномиальной схемы с N>=2 исходами. Надо предложить какую-либо статистику, заданную на частотах исходов полиномиальной схемы имеющейся реализации. Статистика должна служить для построения оценивания и критериев на согласие, однородность. Но задача осложняется тем, что это могут быть полиномиальные схемы с вероятностями, отличающимися перестановками

?

Ну, и повеселее.

Доказать, что для любого натурального [m]n[/m] найдется число, составленное из цифр [m]1[/m] и [m]2[/m], делящееся на [m]{2}^{n}[/m].