Математическая задача

Записали пятизначное число и все числа , получающиеся перестановками его цифр . У каждого из них нашли остаток при делении на 11 . Доказать , что есть остаток , который не встречается среди полученных ни разу.

Так как [m]10 = -1 \mod 11[/m], то для любого пятизначного числа [m]\overline{a_4a_3a_2a_1a_0}[/m] имеем:

[m]\overline{a_4a_3a_2a_1a_0} = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4\ \mod 11.[/m]

Если теперь мы как-то переставим цифры [m]a_i[/m], например так: [m]\overline{a_0a_3a_2a_4a_1}[/m], то будем иметь:

[m]\overline{a_0a_3a_2a_4a_1} = a_1-a_4+a_2-a_3+a_0\ \mod 11[/m].

Заметим, что справа между цифрами в алгебраической сумме стоит три плюса и два минуса (очевидно, что это соотношение между плюсами и минусами не зависит от перестановки цифр).

Таким образом, мы имеет всего [m]2^3[/m] варианта расстановки знаков, т.е. мы можем получить никак не более восьми различных вычетов.

СПАСИБО !!! Эта правильный ответ!!!!!! Большое спассибо

Вообще 8 --- это неправильно, правильно --- это 10 вариантов расстановки знаков, но сути это не меняет.

Но мне кто то говорил , что там 8 , но спасибо за поправку !

Здравствуйте.
Спасибо за решение задачи про пятизначное число. Решение не очень понятное. Можете написать подробное решение ?

Я считаю, что это решение подробно. Что конкретно в нем Вам не очень понятно?

Обратите внимание, что в основном ответе [m]2^3[/m] --- это глупость, на самом деле тем [m]\binom{5}{2}=10[/m] вариантов расстановки знаков.

1. (5)
= 10 это сочетания ?
2

2. Что такое 10=-1mod11 ? "минус 1 по модулю 11 это 10" ?

3. Как из 10=-1 mod11 следует, что a4a3a2a1a0 = a0-a1+a2-a3+a4 mod 11 ?

математическая задача , принцип Дирихле.
У биологов Наташи , Ани , Оли есть 49 лабораторных мышей . Пытливые экспериментаторы поделили мышей между собой . Докажите , что хотя бы у одной из них найдутся или пять одинаковых мышек , или пять разных .