Плаченов Александр Борисович

Ответ на «очень нужно,срочно»

Ну так есть же стандартная формула, посмотрите в учебнике. А можно и не смотреть, просто взять да просуммировать пять чисел. Сами-то числа, зная q и b_3, найти несложно.

Ответ на «Иррациональная задача»

Хочу вступиться за задачу и её автора.
Вот если бы речь шла о том, чтобы разложить многочлен на множители — наверное, нареканий не было бы? Понятно, что это полезное умение, и задачи на эту тему вполне оправданны.
А здесь дополнительно к этому нужно ещё сообразить, как обращение в нуль полученных сомножителей связано с иррациональностью операндов.
И это тоже важное умение: увидеть связь, казалось бы, далёких друг от друга понятий. Умение взглянуть на задачу с нестандартного ракурса (и порадоваться установленной неожиданной связи) — очень важно для человека творческого, в какой бы области он ни применял свои способности.

Ответ на «Иррациональная задача»

А чем не нравится решение, например, из №3?

Ответ на «Иррациональная задача»

Юрий Маркович, если найдены два иррациональных числа, удовлетворяющих уравнению — это не доказательство, потому что из этого ещё не следует, что не найдётся пары рациональных чисел, которые также будут решением (если не доказана единственность).
Ну, например, для уравнения a-b=0 можно взять любые совпадающие иррациональные числа, и это будет решением. Но можно ведь взять и рациональные.

Ответ на «очень нужно,срочно»

Вторая задача касается уже геометрической прогрессии, где отношение соседних членов равно знаменателю прогрессии q, а отношение n-го и m-го членов равно b_n/b_m=q^(n-m). Осталось подставить m=3, n=6, b_3=135, b_6=5, найти q — и что ещё? Вы не сформулировали задачу, но всё, что Вам нужно, теперь Вы сможете найти.

Ответ на «очень нужно,срочно»

Первая задача.
Исходные 2 числа + 5 добавленных образуют арифметическую прогрессию из 7 членов, тогда a_1=-9, a_7=-2. Если d — разность прогрессии (разность между последующим и предыдущим членом), то разность между n-ым и m-ым членами равна a_n-a_m=(n-m)*d. Подставьте n=7, m=1, найдите d, а потом и все члены прогрессии.

Ответ на «Олимпиада Физтех-2014, очный тур.»

Задача 7.
Сфера, построенная на высоте SH как на диаметре, касается основания пирамиды в точке H. Поскольку она проходит через середины четырёх рёбер, а боковых рёбер только три, точка H – середина одной из сторон основания, и боковая грань, проходящая через эту сторону, перпендикулярна основанию.
Сфера проходит через середины боковых рёбер. Это, в частности, означает, что расстояния от этих точек до основания равно половине высоты SH (т.е. трём), и эти точки расположены на экваторе сферы. Прямые, проходящие через полюс S и точки на экваторе, образуют с основанием и высотой пирамиды углы [m]\pi/4[/m], т.е. SHA, SHB и SHC – равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами, равными 6. Тогда точка H – центр круга, описанного около треугольника ABC; сторона, серединой которой является точка H – это диаметр круга, а противолежащий угол – прямой. Следовательно, эта сторона – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC – наибольшая из сторон, т.е. AC, её длина равна AH+HB=6+6=12, прямой угол – угол ABC. Это ответы на вопросы пункта а).
Теперь пункт б). Если прямая, проходящая через середину ребра SC, касается сферы, то она лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной горизонтальному радиусу, лежащему в плоскости ASC и параллельному стороне AC. Тогда вертикальная плоскость делит отрезок HC пополам, линия пересечения этой плоскости с основанием – прямая, перпендикулярная AC, точка пересечения этой прямой с описанной окружностью – точка B. Эта прямая – высота и медиана треугольника НBC, который, тем самым, является равнобедренным, а с чётом HB=BC – равносторонним. Тогда угол C равен [m]\pi/3[/m], BC=6, [m]AB=6\sqrt 3[/m], площадь треугольника ABC равна [m]S_{ABC}=\frac{BC\cdot AB}2=\frac{6\cdot6\sqrt3}2=3\cdot6\sqrt3[/m], а объём пирамиды [m]V_{SABC}=\frac{S_{ABC}\cdot SH}3=\frac{3\cdot6\sqrt3\cdot 6}3=36\sqrt3[/m]

Ответ на «Разложение на множители»

Разумеется, стоило бы слово "линейные" добавить в формулировку задачи.

Ответ на «Разложение на множители»

Пусть, пользуясь обозначениями Юрия Анатольевича,
[m]a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc = (ia+jb+kc)(la+mb+nc) = ...[/m].
Тогда, продолжая цепочку равенств,
[m]... = (a,b,c)(i,j,k)^t(l,m,n)(a,b,c)^t = \frac12 (a,b,c)[(i,j,k)^t(l,m,n)+(l,m,n)^t(i,j,k)](a,b,c)^t[/m],
т.е. матрица квадратичной формы — полусумма двух матриц первого ранга — а, значит, вырождена. В то же время определитель матрицы исходной квадратичной формы равен -4.

Ответ на «Высшая проба 2014, очный тур.»

, что значения [m]\cos(\alpha + n\pi/3)[/m] рационально соизмеримы? ([m]N[/m], [m]n[/m] — целые)
Ответ положительный.
Действительно,
[m]\cos(\alpha + \pi/3)=\cos(\alpha)\cos(\pi/3) — \sin(\alpha)\sin(\pi/3)=\frac{\cos(\alpha) — \sqrt{3}\sin(\alpha)}{2}[/m]
[m]\sin(\alpha + \pi/3)=\sin(\alpha)\cos(\pi/3) + \cos(\alpha)\sin(\pi/3)=\frac{\sin(\alpha) + \sqrt{3}\cos(\alpha)}{2}[/m]
Из этих уравнений следует, что если значения [m]\cos(\alpha)[/m] и [m]\sqrt{3}\sin(\alpha)[/m] соизмеримы, то [m]\cos(\alpha + \pi/3)[/m] и [m]\sqrt{3}\sin(\alpha + \pi/3)[/m] также соизмеримы с ними и между собой. Отсюда будет следовать соизмеримость всех [m]\cos(\alpha + n\pi/3)[/m]
В качестве [m]\alpha[/m] может быть взят арктангенс любого числа, соизмеримого с [m]\sqrt{3}[/m], или значение, отличающееся от него на [m]n\pi/3[/m], за исключением [m]N\pi/6[/m].