Дробышев Виктор Евгеньевич

Ответ на «Подборка уравнений»

Обозначим через [m]{t}_{k}[/m] среднее арифметическое [m]k[/m]-х степеней положительных чисел [m]{a}_{1}, {a}_{2}, ... , {a}_{n}[/m]. Доказать, что последовательность [m]{t}_{1}, {{t}_{2}}^{\frac{1}{2}}, ... , {{t}_{k}}^{\frac{1}{k}}, ...[/m] не убывает.

Ответ на «Подборка уравнений»

Найти рациональные числа [m]x[/m] и [m]y[/m] такие, что [m]0<x<3[/m], [m]y>4[/m], и [m]{x}^{3} + {y}^{2} = {3}^{3} + {4}^{3}[/m].

Ответ на «Подборка уравнений»

обозначим через [m]s(n)[/m] сумму его цифр (в десятичной записи). Назовем натуральное число [m]m[/m] особым, если его нельзя представить в виде [m]m = n + s(n)[/m], где [m]n[/m] — какое-то натуральное число. (Например, число [m]117[/m] не особое, поскольку [m]117 — 108 + s(108) = 108 + 9[/m], а число [m]121[/m], как нетрудно убедиться, — особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Ответ на «Подборка геометрических задач»

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Ответ на «Подборка уравнений»

Доказать, что существует бесконечно много четверок натуральных чисел [m]a[/m], [m]b[/m], [m]c[/m] и [m]d[/m], таких, что [m]({a}^{3} + {b}^{3})({c}^{3} + {d}^{3})[/m] можно представить в виде [m]{M}^{3} + {N}^{3}[/m], где [m]M[/m] и [m]N[/m] — натуральные числа.

Ответ на «Подборка уравнений»

Найти все числа [m]x[/m] x такие, что [m]{x}^{3} = 7p + 1[/m], где [m]p[/m]- простое число.

Ответ на «Подборка геометрических задач»

Доказать, что расстояния от вершин ромба до данногй точки [m]O[/m] однозначно определяют размеры ромба.

Ответ на «Подборка геометрических задач»

Дан треугольник [m]ABC[/m], [m]D[/m], [m]E[/m], [m]F[/m] — середины сторон [m]AB[/m], [m]BC[/m] и [m]AC[/m] соответственно. Пусть биссектриса угла [m]DEF[/m] пересекает отрезок [m]DE[/m] в точке [m]G[/m]. Доказать, что если [m]AG[/m] перпендикулярно к [m]DF[/m], то [m]FG[/m] — диагональ квадрата, сторона которого равна [m]DG[/m].

Ответ на «Подборка геометрических задач»

Через вершины треугольника [m]ABC[/m] имеющего площадь [m]S[/m], проведены прямые линии, делящие углы [m]A[/m], [m]B[/m], [m]C[/m] треугольники на углы [m]{\alpha }_{1}[/m], [m]{\alpha }_{2}[/m]; [m]{\beta }_{1}[/m], [m]{\beta }_{2}[/m]; [m]{\gamma }_{1}[/m], [m]{\gamma }_{2}[/m]; соответственно. Найти площадь треугольника, ограниченного этими тремя прямыми. При каком условии эти прямые пересекаются в одной точке?

Ответ на «Подборка геометрических задач»

На прямой задана совокупность отрезков, из которых каждая пара имеет не менее одной общей точки. Доказать, что все отрезки имеют по крайней мере одну общую точку.