Выражение 1376n^2 + 10 кратно 11, n >= 200.

1. Может ли число n быть таким, что последовательность цифр его десятичной записи возрастает слева направо и представляет собой арифметическую прогрессию?
(В этом вопросе требования кратности 60 нет)

2. Приведите пример числа n, если известно, что оно кратно 60.

Можно использовать сравнения по модулю

остаток от деления 1376 на 11 равен 1, значит остаток от деления 1376n^2 + 9 на 11 равен остатку от деления n^2 + 9 на 11.
возможные остатки от деления на 11 — 0, 1, ..., 10. после возведения в квадрат возможные остатки от деления на 11 — 0, 1, 3, 4, 5, 9. значит возможные остатки при делении на 11 чисел формата n^2 + 9 это 1, 2, 3, 7, 9, 10. Среди них нет нуля, а именно такой остаток будет, если число бы делилось на 11 нацело. Значит в целом нет чисел формата 1376n^2 + 9 кратных 11

Опечатка в задании, извините

Нет, т.к. если оно кратно 60, то число оканчивается на 0, а, значит, не может состоять из последовательности возрастющих цифр

Уточнил задание. В этом воппосе речь о кратности 60 не идет. И последовательность возрастает слева направо.

1376n^2+10 сравнимо с 0 по модулю 11; n^2 сравним с 1 по модулю 11, n сравнимо с +/-1 по модулю 11. Допустим n=a_0+10(a_0-1)+...+10^2k(a_0-2k) cравнимо с a_0-k,
1<=k<=4. При k=1 a_0>=4 не подходит, при k=2 a_0>=5 не подходит, k=3, a_0>=7 не подходит, k=4,a>=9 не подходит. Допустим n=a_0+10(a_0-1)+...+10^(2k-1)(a_0-2k+1) сравнимо с k, 2<=k<=4 не подходит. Допустим n=a_0+10(a_0-2)+...+10^2k(a_0-4k) сравнимо с a_0-3k, 1<=k<=2. При k=1 a_0>=6 не подходит, при к=2 a_0=9 не подходит. Допустим n=a_0+10(a_0-2)+...+10^(2k-1)(a_0-4k+2) сравнимо с 2k, 2<=k<=3 не подходит. Наконец N=258 сравнимо с 5, N=369 сравнимо с 6 не подходят. Значит, такого n нет. Пусть n=60k и 1376n^2 + 10 кратно 11. Тогда 60^2k^2 сравнимо с 1 по модулю 11, тогда 3k^2 сравнимо с 1 по модулю 11, то есть k сравнимо c +/-2 по модулю 11. Например, k=9, n=540

11111111^50005.

Обоснованное решение. Можно использовать сравнения по модулю