Уравнение прямой

Как записать уравнение прямой в векторной параметрической форме, если прямая задана пересечением двух плоскостей. Нигде ничего не нашел.

У каждой плоскости есть нормальный вектор.
Их векторное произведение как раз и дает направляющий вектор прямой.

Разумеется, это я знаю. Но как вычислительно это реализовать. Я не представляю в каком виде у меня должен быть записан ответ.

OM = OM1 + t*M1M2,
где OM, OM1, M1M — векторы, t — параметр.

В принципе вроде ясно, но технически все никак.

Это странно...

Может еще немножко. Где мне взять эти векторы?

А как Вам плоскости заданы, в каком виде?

При любом задании плоскостей у Вас должны быть векторы нормалей к обоим плоскостям, Тогда векторное произведение этих векторов представляет собой вектор. чего....???
А теперь попробуй решить задачу. Дано уравнение прямой в виде
[m][\overrightarrow{r,}\overrightarrow{a}]=\overrightarrow{b}[/m],
получить его в виде [m]\overrightarrow{r}=\overrightarrow{{{r}_{0}}}+\overrightarrow{a}t[/m]

Кто нибудь их минусователей в открытую может объяснить, за что именно. Очень интересно. Или все втхомолку?

Понял. Векторное произведение нормалей и есть направляющий вектор моей прямой.
Эту Вашу задачу не понимаю, как решать.
Плоскости у меня заданы в векторной форме каждая со своими индексами 1 и 2 : вектор r= начальный вектор r+ вектор a*t+векторb*t, t-параметры, они с разными индексами.

Не знаю, как начальный вектор прямой искать и как из уравнений плоскостей получить векторы нормалей.

Нормаль перпендикулярна векторам a и b, задающим плоскость, следовательно, может быть получена как их векторное произведение.
Начальный вектор должен удовлетворять уравнениям обеих плоскостей.

Я так понимаю, твои плоскости заданы в векторной параметрической форме:
[m]\overrightarrow{{{r}_{1}}}=\overrightarrow{{{r}_{0}}_{1}}+\overrightarrow{{{a}_{1}}}{{t}_{1}}+\overrightarrow{{{b}_{1}}}{{t}_{2}}[/m]
[m]\overrightarrow{{{r}_{2}}}=\overrightarrow{{{r}_{0}}_{2}}+\overrightarrow{{{a}_{2}}}{{t}_{1}}+\overrightarrow{{{b}_{2}}}{{t}_{2}}[/m]
Теперь твоя задача свести свою задачу к той задаче, которую я дал. Но ты не можешь ее решить, это, конечно, плохо. Это довольно стандартная задача для физико-математических специальностей.
Тогда попробуй решить обратную задачу(она легче). Дано уравнение прямой в параметрическом виде, получить в векторном. Может тогда получится. На этом моя помощь заканчивается. Надо и самому учиться плавать.

В результате, так и не объяснили, как искть начальный вектор. Как второй класс, так все подробно

А может выложите окончательный ответ, а уж буду сам решать, буду знать к чему стремиться.

Ладно, уговорили.
Но задачу-то Вы привели в общем виде, поэтому решение будет таким же ))
Пусть p = p0 + p1*t1 + p2*t2 — ур-ние первой пл-ти
q = q0 + q1*t3 + q2*t4 — ур-ние 2-й пл-ти (параметры на разных плоскостях, есс-но, разные). Чтобы найти уравнение общей прямой, приравниваем выражения для p и q, записываем равенства покоординатно и получаем систему 3-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Если исходные пл-ти не параллельны, то эта система имеет бесконечное мн-во решений, которые все имеют вид r = r0 + r1*t ( частное решение неоднородной системы + общее решение однородной системы)

Ну тогда и я попробую.
Сначала решение моей задачи: задано векторное уравнение прямой, не содержащее начальной точки [m][\overrightarrow{r,}\overrightarrow{a]}=d[/m]. Требуется начальную точку прямой.
Очевидно(?), её можно искать в виде [m]\overrightarrow{{{r}_{0}}}=k[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d}][/m]. Подставляем в уравнение прямой [m]k[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d}],\overrightarrow{a]}=\overrightarrow{d}[/m], откуда по формуле двойного векторного произведения [m]k(\overrightarrow{a,}\overrightarrow{a]}=\overrightarrow{d}[/m], т.к. [m](\overrightarrow{a},\overrightarrow{d})=0[/m] ( в силу ортогональности). Отсюда [m]k=|a{{|}^{-2}}[/m] и значит
[m]\overrightarrow{{{r}_{0}}}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d]}}{|a{{|}^{2}}}[/m]и значит мы получили уравнение в параметрическом виде math]\overrightarrow{r}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d]}}{|a{{|}^{2}}}+\overrightarrow{a}t[/math].
Вернемся к исходной задаче. Даны уравнения плоскостей в векторном параметрическом виде [m]{{\overrightarrow{r}}_{i}}=\overrightarrow{{{r}_{0i}}}+\overrightarrow{{{a}_{i}}}{{t}_{i}}+\overrightarrow{{{b}_{i}}}{{t}_{2}}[/m] , i=1,2. Умножим скалярно эти уравнения соответственно на [m]\overrightarrow{{{n}_{i}}}[/m], [m]\overrightarrow{{{n}_{i}}}=[\overrightarrow{{{a}_{i}}},\overrightarrow{{{b}_{i}}}][/m]- нормали к плоскостям, получим [m](\overrightarrow{{{r}_{i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})=(\overrightarrow{{{r}_{0i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})[/m]. Обозначим [m](\overrightarrow{{{r}_{0i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})={{d}_{i}}[/m]. Умножим первое уравнение плоскости на [m]\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], второе на ]math]\overrightarrow{{{n}_{1}}}[/math], и из второго уравнения вычтем первое, получим [m][\overrightarrow{r,}[\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}]]={{d}_{2}}\overrightarrow{{{n}_{1}}}-\overrightarrow{{{d}_{1}}}\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], то есть в известном уже нам виде [m][\overrightarrow{r},\overrightarrow{a}]=\overrightarrow{b}[/m], где [m]\overrightarrow{a}=[\overrightarrow{n{}_{1}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}][/m] — направляющий вектор прямой, [m]\overrightarrow{b}={{d}_{2}}\overrightarrow{{{n}_{1}}}-\overrightarrow{{{d}_{1}}}\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], а [m]\overrightarrow{r}=\overrightarrow{{{r}_{1}}}=\overrightarrow{{{r}_{2}}}[/m]в силу того прямая есть пересечение плоскостей. Теперь можно и ответ:
[m]\overrightarrow{r}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b]}}{|\overrightarrow{a}{{|}^{2}}}+\overrightarrow{a}t[/m], то есть в векторном параметрическом виде, что и требовалось. И никаких систем уравнений.

Сначала решение моей задачи: задано векторное уравнение прямой, не содержащее начальной точки [m][\overrightarrow{r,}\overrightarrow{a]}=d[/m]. Требуется начальную точку прямой.
Очевидно(?), её можно искать в виде [m]\overrightarrow{{{r}_{0}}}=k[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d}][/m]. Подставляем в уравнение прямой [m]k[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d}],\overrightarrow{a]}=\overrightarrow{d}[/m], откуда по формуле двойного векторного произведения [m]k(\overrightarrow{a,}\overrightarrow{a]}=\overrightarrow{d}[/m], т.к. [m](\overrightarrow{a},\overrightarrow{d})=0[/m] ( в силу ортогональности). Отсюда [m]k=|a{{|}^{-2}}[/m] и значит
[m]\overrightarrow{{{r}_{0}}}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d]}}{|a{{|}^{2}}}[/m]и значит мы получили уравнение в параметрическом виде [m]\overrightarrow{r}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{d]}}{|a{{|}^{2}}}+\overrightarrow{a}t[/m].
Вернемся к исходной задаче. Даны уравнения плоскостей в векторном параметрическом виде [m]{{\overrightarrow{r}}_{i}}=\overrightarrow{{{r}_{0i}}}+\overrightarrow{{{a}_{i}}}{{t}_{i}}+\overrightarrow{{{b}_{i}}}{{t}_{2}}[/m] , i=1,2. Умножим скалярно эти уравнения соответственно на [m]\overrightarrow{{{n}_{i}}}[/m], [m]\overrightarrow{{{n}_{i}}}=[\overrightarrow{{{a}_{i}}},\overrightarrow{{{b}_{i}}}][/m]- нормали к плоскостям, получим [m](\overrightarrow{{{r}_{i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})=(\overrightarrow{{{r}_{0i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})[/m]. Обозначим [m](\overrightarrow{{{r}_{0i}}},\overrightarrow{{{n}_{i}}})={{d}_{i}}[/m]. Умножим первое уравнение плоскости на [m]\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], второе на [m]\overrightarrow{{{n}_{1}}}[/m], и из второго уравнения вычтем первое, получим [m][\overrightarrow{r,}[\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}]]={{d}_{2}}\overrightarrow{{{n}_{1}}}-\overrightarrow{{{d}_{1}}}\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], то есть в известном уже нам виде [m][\overrightarrow{r},\overrightarrow{a}]=\overrightarrow{b}[/m], где [m]\overrightarrow{a}=[\overrightarrow{n{}_{1}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}][/m] — направляющий вектор прямой, [m]\overrightarrow{b}={{d}_{2}}\overrightarrow{{{n}_{1}}}-\overrightarrow{{{d}_{1}}}\overrightarrow{{{n}_{2}}}[/m], а [m]\overrightarrow{r}=\overrightarrow{{{r}_{1}}}=\overrightarrow{{{r}_{2}}}[/m]в силу того прямая есть пересечение плоскостей. Теперь можно и ответ:
[m]\overrightarrow{r}=\frac{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b]}}{|\overrightarrow{a}{{|}^{2}}}+\overrightarrow{a}t[/m], то есть в векторном параметрическом виде, что и требовалось. И никаких систем уравнений.

Обалдеть, такого у нас никто не делал. Сделали и показывали на доске, как делала Рыжикова Юлия Сергеевна(сделали только двое). Но ответы одинаковые в одном случае. Точнее: по методу Рыжиковой ответов много, а по методу Кругликова-один, почему?. Наш преподаватель на разборе не смог объяснить.

))))))))))))))))))))))))))
Метод Рыжиковой... смешно, да.

Ответы получаются разные, потому что начальный вектор = частное решение неоднородной системы можно выбирать произвольно из бесконечного множества решений.

Ну и я. По поводу метода Кругликова. В свое время я сдавал экзамен по анал геометрии профессору Беклемишеву(он до сих действующий профессор Физтеха). У меня были задачи, которые крутились вокруг заданной здесь задачи. Так вот я их и решал, как было в задачнике Беклемишевой( жены Беклемишева-тоже профессора Физтеха) и в лекциях.
У меня один ответ, потому что я выбрал начальный вектор ортогональным к направляющему вектору,но не оговорил при решении, но ты не заметил.

Всем спасибо, действительно помогли.

Найти плоскость перпендикулярную плоскости 2x-4y+4z+12=0. Сколько таких плоскостей?

Постройте сечение куба ABABCDA1B1C1D1D1, которая параллельна плоскости BDM, где точка М — середина ребра CC1, и которая проходит через точку А.
Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 4√2 см

У меня домашнее задание. Привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствуюжщего линейного преобразования.
F=2x^2-y^2+3z^2+2xy+6xz
На лекциях и семинаре мы разбирали такую задачу. Но там были только такие случаи, когда собственные числа матрицы формы были рациональные, а в моём примере они иррациональные. Семинарист сказал, раберись сам. Но я нигде ничего не нашел.
Заранее спасибо. Вы мне злесь уже помогли.