Система с параметром

Всем добрый день. Единственное что смог придумать — заменить два подмодульных выражения в 1 уравнении системы через b и с и переписать систему через b и c.

Здравствуйте, Евгений Игоревич. Правильно Вы придумали. В новых обозначениях первое уравнение эквивалентно системе неравенств b больше или равно 0, с меньше или равно 0. Затем нужно заметить, что во втором равенстве фигурируют те же выражения, которые Вы назвали b и с. И рассмотреть разные варианты раскрытия модулей.

По первому уравнению, не совсем так. Например, b = -10, с = 10 тоже является его решением.

Более, того, если c < 0, то у второго уравнения решений нет.
Это соображение упрощает дальнейший разбор вариантов, по идее.

Я начал вот так

Но ничего хорошего из этого не получилось

получились разные значения а, причем непонятно какие отсечь нужно

Здравствуйте, Евгений Игоревич. Я думаю, что без графиков в этой задаче ничего хорошего и не должно получиться.

Добрый день!
Посмотрел Ваши рассуждения.

По первому уравнению

a) b-c = b+c ⇒ c=0, а не b
т.к. c=0, этот случай можно рассмотреть в рамках пункта b

b) b>= 0, c =< 0, b+c = b+c — почему Вы сразу этот вариант отбросили?
Да, у уравнения получается огромное семейство решений,
но единственное решение должно быть у всей системы же — нужно теперь смотреть, как условия на знаки b и c взаимодействуют со вторым уравнением, а дальше уже смотреть на количество решений.

c) Да, получается ещё одно семейство решений
b =< 0, c >= 0, b+c = 0
Аналогично предыдущему, нужно дальше разбираться, как это стыкуется со вторым уравнением

d) аналогично первому пункту, получается b=0 и этот пункт можно рассматривать в рамках пункта с

Итого, после рассмотрения первого уравнения остаются 2 случая — пункты b и с
Дальше нужно смотреть, как они совмещаются со вторым уравнением.

==========================
По поводу второго уравнения

Пункты 1, 2 — вывод c=1 правильный.

Но пытаться совместить получающееся уравнение надо с пунктами b и c для первого уравнения, а не с равенством y + x^3 = 0 — как уже писал выше
Соответственно, как только начинаете опираться на это равенство — дальше всё неверно.

P.S. В пункте 3 — посмотрите, какой знак будет у каждой части уравнения после раскрытия модуля.

После того, как поправите то, что я в предыдущем сообщении написал, должно получиться, что для всех a нужно рассматривать случай 4 c), плюс, для некоторых a возможны дополнительные решения при c=1

В случае 4 с, действительно, получается кубическое уравнение.
Это уравнение, в теории, может иметь 1, 2 или 3 корня.
Но ещё дополнительно нужно проверять,удовлетворяют ли эти корни всем неравенствам, соответствующим пункту 4 c)

п.1 и 2 не рассматриваю.
Я не понимаю как сделать оценку на а

Если b < a, тогда 2(b-a) < 0, левая часть больше.
Случай равенства, опять же, можно рассмотреть в рамках других альтернатив.

Глобально — как Вы можете делать какую-то оценку на a до того, как объединили результаты по всем рассматриваемым случаям?
Нужно сначала для каждого a понять, сколько пар x и y будет в каждой конкретной альтернативе.
А все эти рассуждения нужны просто чтобы показать, что для всех a решения будут либо вида «c=1», либо удовлетворять условию 4 c)

В варианте 4 c) никаких противоречий нет, нужно дальше разбираться — например, переходя к x и y и кубическому уравнению, как Вы выше делали.
Я уже комментировал, в чём там проблема — как минимум, Вы не отсеивали корни кубического уравнения на соответствие неравенствам, которые должны выполняться для случая 4 с)

На первом шаге найдите условие на b и c, при котором система имеет единственное решение. На втором шаге рассмотрите два случая: 1.с>0 2. c<0. Постройте графики зависимости c(b). Посмотрите, как влияет параметр a. При каких а точки пересечения b и c попадают в нужную Вам область.

система линейна относительно b и с, соответственно при любом а будет иметь единственное решение

можно ли сделать вывод что 1-с < = 0, b > 0 ?

Если сделать замену b=y+x^3; c=y+3x и добавить в систему третье условие |b-c|>2, то каждой паре чисел (b0,c0), являющихся решением новой системы, будет соответствовать единственное решение (x0, y0) исходной системы. Так как при условии |b-c|>2 графики функций y=-x^3+b и y=-3x+c будут пересекаться в одной точке. То есть нужно найти все значения параметра a, при которых система состоящая из трëх условий |b|-|c|=b+c; |-c+1|-|b-a|=2(-c+1) — (b-a); |b-c|>2 имеет единственное решение. Вот только у меня при решении получилось, что последняя система не имеет решения. Завтра перепроверю.

Можно решить графически

Нарисуйте графики (один будет меняться в зависимости от а), посмотрите на их форму и точки пересечения.