Помогите решить задачу

На каждой клетке бесконечной шахматной доски стоит по королю - белому, либо чёрному, причём есть короли обоих цветов. Докажите, что есть белый король, который бьёт чёрного

Не совсем, правда, корректный шахматный термин "бьёт" (король короля). То, что в соседних клетках ()по горизонтали, вертикали или диагонали) встретятся короли разных цветов убеждаемся от противного. Если все "соседи", например, белого короля только белые, то такая же ситуация у каждого из его "соседей" и т. д. Получаем доску, наполненную только одноцветными королями, что противоречит условию.

Значит не может быть то, чтобы у белого короля стоял чёрный?

Нет. Значит, справедливо утверждение задачи упражнения.

Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я написал "Уходите", а на втором — "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место?

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
— Вы видите у меня, — сказал он, — пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
— Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга... Наконец один воскликнул:
— На мне чёрный!
Как он догадался?

В мешке лежат шарики трёх цветов: чёрного, белого и синего. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них заведомо оказалось три одноцветных?

(lда-да, ессно, для младшеклассников)

"2. Хромой король может ходить на соседние клетки по сторонам и диагоналям, кроме ходов вверх и вниз (то есть не более 6 вариантов хода). Может ли он пройти все клетки доски 9*9, побывав на каждой клетке доски по одному разу?"

(выкладываю "как есть", с сайта. Формулировка, корректность — "как есть" )

сколькими способами можно расставить на шахматной доске чёрного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках )? (расстановки ,при которых чёрный и белый короли меняются местами , считаются разными ).Сам я получил 3612 способов,но терзают меня смутные сомнения,что это количество нужно удвоить.Помогите!