Докажите, что в кружке занимается чётное число детей

После нескольких занятий кружка художественного свиста оказалось, что у каждого в кружке ровно один друг и ровно один враг. Докажите, что в кружке занимается чётное число детей.

На одного ученика приходиться 2 ученика (1 друг+1 враг), допустим количество учеников, которые имеют 1 друга и 1 врага = n, тогда общее количество учеников=2n. 2n — четное число, не зависимо от значения n.

Странно... Если n — количество учеников, которые имеют 1 друга и 1 врага, то n — это и есть общее количество учеников («у каждого»), не правда ли?

Здесь вся идея в том, что и «вражда», и «дружба» — обоюдные понятия. То есть, если я друг Васе, то и Вася мне друг. С враждой аналогично. Понимая это, сделаем следующее несложное рассуждение.
Выберем одного ученика (назовем его А). У него есть один враг (допустим, Б), которому он, очевидно, тоже является врагом. То есть пара А и Б — враги друг другу и больше врагами эти два ребенка никому быть не могут, потому что по условию у каждого лишь один враг. Таким образом, если появляется ребенок В, то чтобы у него был враг (а это обязательно по условию!), должен быть и ребенок Г, с которым они враждуют. То есть, В с Г опять образуют замкнутую друг на друга пару. И так далее. И эти пары по определению дают четное общее количество детей.
Можно все те же самые рассуждения провести и со стороны «дружбы», а не «вражды». Это не принципиально.
Смысл в любом случае в том, что если детей нечетно, то одному ребенку не будет пары для вражды или дружбы. Значит, условие задачи выполняться не будет.

Предположим что в кружке занимается 2n-1 детей, допустим 3 человека, тогда для 1 ребёнка другом будет являться 2, а врагом 3, для 3 врагом будет первый, а другом 2. Отсюда следует что для 2 , другом будет и 1 и 3 ребёнок, а по условию он должен иметь 1 друга и 1 врага, значит в кружке должно быть четное количество детей. Ч.т.д.