"Пи на 7"

Еще одна задача с различными подходами из разных разделов математики.

Углы в треугольнике образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Доказать, что для его сторон выполняется соотношение [m]\frac1a=\frac1b+\frac1c[/m].

Можно втупую через теорему синусов.
Надо доказать, что [m]2\sin(\pi/7) (\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)) = 2\sin(2\pi/7) \sin (4\pi/7)[/m]
Это прямо следует из формулы для разности косинусов.

Это самое простое. Хотелось бы красивого решения.

Пардон за обозначения, автонумерация GeoGebra :)
Рассмотрим треугольник ABC, где AC — наименьшая сторона, AB наибольшая. Построим точки D, так, что DB параллельно AC, BD=AC, угол DBA<DBC
Сделаем инверсию около единичной окружности с центром в B и получим точки D' симметричную D, A' — A, C' — C
Тогда BD'=1/AC, BC'=1/BC, BA'=1/AB и надо доказать, что BD'=BC'+BA'.
Продлим C'A' до пересечения с BD (точка H).
Тогда BC'=BH (т.к. угол HBC'=CAB+ABC = 3ABC, BC'H=BC'A'=BAC=2ABC, BHC'=180-5ABC=2ABC)
Аналогично из равенства углов HD'=A'H=A'B.
Отсюда BD'=BH+HD'=BC'+A'B, что и т.д.

Круто!
Я сначала решал геометрически через треугольник с теми же углами, что у треугольника BA'D' с проведенной A'H в Вашем решении, разумеется, без использования инверсии. Но потом увидел, что через другой треугольник все получается попроще.
Жду пока другие подключатся.

По поводу геогебры.
Названия точек передвигаются курсором на более удачные позиции.
Двойной щелчок по точке, а затем заход в меню свойства позволяет изменить ее название.
Программа, кстати, просто замечательная. Планирую ее поосновательнее изучить летом.

Обозначения понятны из рисунка.

Из подобия треугольников BLC и AKB получаем [m]\frac{a}{c}=\frac{y}{l}[/m]
Из подобия треугольников BLC и ABC получаем [m]\frac{a}{b}=\frac{y}{a}[/m]
Поскольку BL — биссектриса треугольника BKC, получаем [m]\frac{y}{a}=\frac{x}{l}[/m]
Треугольник BKC — равнобедренный, поэтому [m]x+y=l[/m]
В итоге получаем [m]\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{x}{l}+\frac{y}{l}=1[/m]. Ч.т.д.

А вот мое решение.

Сделаем пристройку к треугольнику ABC так, что AC будет биссектрисой. Из равнобедренных треугольников окажется AC=AD=BD=b.
Из свойства биссектрисы получим
[m]\frac{c}{a}=\frac{b}{b-a}[/m].
Откуда
[m]\frac1a=\frac1b+\frac1c[/m].

Да, пожалуй проще уже некуда.
Хочется поставить +10, а получается только +4.

Самостоятельную работу по математике выполнили 50 студентов первого курса. Работа состояла из одной задачи раздела "Теория множеств", одной задачи раздела "Теория вероятностей" и одной задачи раздела "Математическая логика". Задачу из первого раздела решили 41 студент, из второго — 28, из третьего — 35. Задачи из 1-го и 2-го разделов решили 20 человек, из 1-го и 3-го — 26, из 2-го и третьего — 18. 5 человек не решили ни одной задачи. Все задачи решили ________ человек. (дайте ответ цифрой).

Есть краски пяти различных цветов. Сколькими геометрически различными способами можно раскрасить этими красками грани кубика? Все цвета должны присутствовать в раскраске.

Я просто голову сломал... Помогите, плиз!!

a1+a2+a3=15,
2a2=a1+a3,
(a2+4)^2=(a1+1)(a3+19),

a1+a2+a3=15,
-a1+2a2-a3=0,
3a2=15,
a2=5,

a1+a3=10,
(a1+1)(a3+19)=81,

a3=10-a1,
(a1+1)(29-a1)=81,

Сумма трёх чисел,которые составляют арифметическую прогрессию, ровна 15. Если к ним добавить относительно числа 1,4,19,то получится три числа,которые составляют геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Правильно вот так???
28a1-a1^2+29=81,
a1^2-28a1+52=0,
D1=144,
a1=2 или a1=26,
a3=8 или a3=-16,
2, 5, 8 или 26, 5, -16 — исходные числа.

вот ссылка http://otvet.mail.ru/question/89163646

При каких значениях параметра a уравнение
[m]\left(x-a \right)\left({x}^{2}-3x+2 \right)=0[/m]
Имеет 3 различных корня?
При каких a эти 3 корня составляют арифметическую прогрессию?
Геометрическую прогрессию?

Вроде просто, но я запуталась. у=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции. y=( x+2,
(2-x,
(x^2+2.
наверно, будет две прямых и парабола.