Найти коэффициент

Помогите найти коэффициент при x^l в ln сумма от к=0 до j-1 x^k/k!, j=2,3,…

[m]coe{{f}_{{{x}^{l}}}}(\ln \sum\limits_{k=0}^{j-1}{\frac{{{x}^{k}}}{k!}})=\frac{{{d}^{l}}}{d{{x}^{l}}}(\ln \sum\limits_{k=0}^{j-1}{\frac{{{x}^{k}}}{k!}})\left| _{x=0} \right.[/m]
А вот сможете найти производную? Как проще всего это сделать?

А на факториал разве не нужно делить?

Конечно, делить надо.

Получается какя-то многоэтажная дробь жуткого вида и что с ней делать?

Так сначала из функции lnf(*) надо сделать многочлен.

Ну как же из логарифма я сотворю многочлен.?

Совсем легко доказать, что
[m][x^0]=0[/m]
[m][x^1]=1[/m]
[m][x^l]=0[/m] при [m]l\in\{2,\dots,j-1\}[/m]

Несколько сложнее доказать, что
[m][x^{j-1+k}] = \frac{(-1)^k}{(j-1)!\cdot (k-1)!\cdot (j-1+k)}[/m] при [m]k\in\{1,\dots,j\}[/m]

Дальше у меня есть сомнения, что разумного качества формулы существуют.

А что означают Ваши квадратные скобки, я знаю целая часть числа, но что это здесь?

Здесь [m][x^m][/m] означает коэффициент перед [m]x^m[/m] в ряде Маклорена рассматриваемой функции (кстати, это относительно распространенное обозначение, особенно а зарубежной литературе).

Фундаментальные основы матанализа надо знать и уметь ПРИМЕНЯТЬ

Теорема 1 Вейерштрасса. Для непрерывной функции, определенной на отрезке, существует последовательность алгебраических полиномов, равномерно сходящаяся к данной функции на этом отрезке.
В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.

Обозначим j(l)=−l!coef(ln∑k=0j−1xkk!). И рассмотрим примеры
1. j=2, j(l)=−l!ln(1+x)=−l!(x1−x22+x33−x44...)− разложение в ряд,
Кругликов Борис Михайлович (-434 / 304) 07 мар 2020 13:29 #220 Ответить

2. j=3, [m]{{c}_{j}}(l)=-l!\ln (1+(\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!}))=-l!((\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!})-\frac{{{(\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!})}^{2}}}{2}+...)=-l!(\frac{x}{1}-\frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{x}^{4}}}{8}-\frac{{{x}^{5}}}{20}+\frac{{{x}^{7}}}{56}-\frac{{{x}^{8}}}{64}+...)[/m]

l 1 2 3 4 5 6 7 8
[m]{{c}_{2}}(l)[/m] -1 1 -2 6 -24 120 720 5040
[m]{{c}_{3}}(l)]/m] -1 0 1 -3 6 0 -90 630
2. j=3, [m]{{c}_{j}}(l)=-l!\ln (1+(\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!}))=-l!((\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!})-\frac{{{(\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!})}^{2}}}{2}+...)=-l!(\frac{x}{1}-\frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{x}^{4}}}{8}-\frac{{{x}^{5}}}{20}+\frac{{{x}^{7}}}{56}-\frac{{{x}^{8}}}{64}+...)[/m]

l 1 2 3 4 5 6 7 8
[m]{{c}_{2}}(l)[/m] -1 1 -2 6 -24 120 720 5040
[m]{{c}_{3}}(l)]/m] -1 0 1 -3 6 0 -90 630




Над общим случаем надо ещё думать.

Значит для j=2 получилась простейшая формула (-1)^l(l-1)!. Как не догадаться разложить в ряд, да стыдно мне.

Должно быть практически очевидно, то Ваша формула неправильная (действительно, для j=2 мы имеем обычный [m]\ln(1+x)[/m]).

Кроме того, в #9 и #10, я думаю, написана полная глупость.

У меня были принято обозначение
[m]{{c}_{j}}(l)=-l!coe{{f}_{{{x}^{l}}}}(\ln \sum\limits_{k=0}^{j-1}{\frac{{{x}^{k}}}{k!}})[/m]

А вот и общий искомый вид
[m]{{c}_{j}}(l)=\sum\limits_{k=1}^{l}{\frac{{{(-1)}^{k}}}{k}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
{{l}_{1}}+...+{{l}_{k}}=l \\
0<{{l}_{i}}<j,
\end{smallmatrix}}{\frac{l!}{\prod\limits_{i=1}^{k}{{{l}_{i}}!}}}.[/m]

Удивительно, но это похоже на правду (только я не понимаю зачем Вы домножаете на l!, даже в формуле он стоит в числителе и ничего не делает).

Э то умножение делает коэффициенты целыми числами.

Мне тоже удивительно, когда я читаю Ваши глупости.

Никакой симметрии, душевнобольные следите за собой.
Должно быть практически очевидно, то Ваша формула неправильная (действительно, для j=2 мы имеем обычный ln(1+x)).

Кроме того, в #9 и #10, я думаю, написана полная глупость.
↓↓ 0 ↑↑ Мажуга Андрей Михайлович (16983 / 2014) 08 мар 2020 18:51 #12 Ответить

Удивительно, но это похоже на правду (только я не понимаю зачем Вы домножаете на l!, даже в формуле он стоит в числителе и ничего не делает).
↓↓ 0 ↑↑ Мажуга Андрей Михайлович (16983 / 2014) 12 мар 2020 00:09 #17 Ответить

Когда Мажуга пишет, ему одобрение, при этом он не решил поставленную задачу.
Когда же я пишу то же самое, что Мажуга про меня, меня банят. При этом я задачу полностью решил.

Изучал все формулы, через разложение в ряд, это наиболее понятно и формулу Кругликова ( совсем мне непонятно, как получилась) . Однако значения коэффициентов совпали. Проверял при j=3, c(4)=-3, c(5)=6, c(6)=0 , c(7)=-90. Однако мне вот что совсем не понятно. Эти коэффициенты от производящей функции перечисления некоторых комбинаторных объектов, как их количество может быть отрицательным? Загадка.

Не нашлось ни одного любопытного, любознательного, кто бы поделился соображениями о моей загадке.

Дано уравнение прямой АС: x-3y+3=0
Поскольку BD перпендикулярна к АС, то его угл.коэф. равен: к=-1/к1, где к1/ 1/3-угл коэф.стороны АС, тогда к=-1/ (1/3)=-3. Проверьте пожалуйста, правильно?
И как теперь вывести уравнение ВD. Вершины треугольника: A(-3,0) B(2,5) C(3,2).

Коэффициент при (x-3)^3 в разложенную функцию y=1/√(x-2) по формуле Тейлора по степеням (x-3) чему будет равен???

при каком значении параметра а графики функций y=a*(x)^2 и y=ln x имеют общую касательную? Верно ли я рассуждаю что этой касательной будет являться y=x-1 ?

Где можно найти формулу? Для вычисления через предел угловой коэффициент касательной и свободный член