Математика олимпиада сириус

Какие цифры надо вставить вместо звёздочек в десятичную запись 2⋆4⋆⋆ 27 ⋆ (вместо каждой звёздочки — ровно одну цифру), чтобы получившееся число было максимально возможным и делилось на 18? В ответ запишите полученное число.

1) Чтобы число делилось на 18, оно должно делиться на 3х3х2. Т. е. должно быть ЧЁТНЫМ. Последняя * — это 0, 2,4, 6 или 8.
2) Чтобы число было максимальным, на место первой * хорошо бы поставить 9. И на место двух ** в середине — тоже. Получаем число: 2949927чёт.
3) Его цифровой корень (сумма цифр): 2+9+4+9+9+2+7+чёт = 4х9+6+чёт = 42 + чёт = 4+2+чёт = 6+чёт. На 3 делиться может (при чёт = 6), но на 9 не делиться. Не то!
4) Начинаем уменьшать число. Следующий кандидат: 2949827чёт. Его цифровой корень: 3х9+8+6+чёт=27+14+чёт=41+чёт=5+чёт. При чёт=4 он равен 9. Ура!
5) Проверка: 2949828274 : 18 (столбиком) = 1638793 Да!
Ответ: 29498274

В школе 505 учеников. Каждый ученик посещает ровно одну
из восьми спортивных секций, ровно один из восьми научных кружков
и ровно одну из восьми студий художественной самодеятельности. Два
ученика дружат, если они посещают вместе ровно два разных занятия
(а иначе не дружат). Докажите, что найдутся 64 ученика, никакие двое
из которых не дружат.

Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Галя добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое n не делилось. Например, если на экране было число 10, Галя могла добавить 7 и получить 17.

Галя повторила такую операцию пять раз, и на экране оказалось число 160. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться?
P.S у меня проблема в том что я не могу понять как решить или какую формулу использовать

Даны 8 гирек весом 1,2,…,8 грамм, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит вес каждой гирьки. В доказательство своей правоты он готов провести одно взвешивание на двухчашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Помогите Барону провести такое взвешивание. Никаких других гирь у него нет, на чаши можно класть любое количество гирь.

Сопоставьте, какие гири необходимо положить на одну чашу, а какие — на другую.

Зато крайне правдоподобно! Сегодня он нарисовал несколько вещей, среди которых ровно 18 жёлтых, 21 круглая и 16 съедобных. Какое наибольшее количество мячиков он мог нарисовать?

Петя считает, что все помидоры круглые и красные, все мячики круглые и могут быть любого цвета, а все бананы жёлтые и не круглые.