Деревья вокруг озера.

На берегу круглого озера растут шесть деревьев. Если взять два треугольника так, что вершины одного будут в основании одной тройки деревьев, а вершины второго — в основании другой, то на середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, окажется зарыт клад на дне озера. Какое наименьшее число попыток должен сделать кладоискатель, чтобы найти клад.

Очень красивая задача. Жаль, что никто не взялся. Прежде чем выкладывать ее полное решение, сделаю подсказку.
Помимо отрезка, соединяющего точки пересечения высот, нужно рассмотреть отрезок, соединяющий точки пересечения медиан этих треугольников.

и [m]DEF[/m].
Точки [m]G[/m] и [m]H[/m] соответственно их точки пересечения высот.
Из подобия треугольников [m]AGP[/m] и [m]JOP[/m], где [m]J[/m] — середина [m]BC[/m], а [m]M[/m] — середина [m]EF[/m], и вышеупомянутого факта следует, что [m]AP:PJ=2:1[/m], а значит [m]P[/m] — точка пересечения медиан треугольника [m]ABC[/m].
Аналогично доказывается, что [m]Q[/m] — точка пересечения медиан треугольника [m]DEF[/m].

Середина [m]Y[/m] отрезка [m]PQ[/m] — центр масс системы, который не зависит от выбора треугольников.

Из равенства [m]OP:PG=OQ:QH=1:2[/m] следует, что [m]OY:YZ=1:2[/m], где [m]Z[/m] — середина отрезка [m]GH[/m].

Таким образом, клад зарыт в точке [m]Z[/m], которая определена однозначно вне зависимости от выбора треугольников. Она находится втрое дальше от центра озера, чем "центр масс", и кладоискателю достаточно сделать 1 попытку.

В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника AOB равна 6. Найдите площадь трапеции.

Знаю, что треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновеликие. Т.е. Площадь AOBравна площади COD. И площади треугольников AOD и BOC относятся как 3^2, т.е. 9. Как из этих данных вывести решение, не знаю.

1. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, пересекающее основание по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α, а из центра другого основания — под углом β. Диагональ сечения равна d. Найдите его площадь.

2. Два сечения, параллельные оси цилиндра, пересекаются внутри него. Одно из сечений делится прямой пересечения на два равных прямоугольника площадью 6 см². Найдите площадь второго сечения, если прямая пересечения делит его площадь в отношении 1:4.

Помогите, пожалуйста, решить задачу.

В треугольнике ABC угол А=30, точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямые ОА и ВО пересекают описанную вокруг треугольника АВС окружность в точках М и N, соответственно. Найдите величину угла С в градусах, если известно, что AM=MN

Стоит взять на заметку, что и такое может попасться. Попробуйте решить.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD=3. Найдите сторону BC.

1.Отрезки MN и EF пересекаются в их середине P. Докажите, что EN║MF.

2.Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если BAC=720.