Делимость

Делится ли на 7 число 1991^1917+1917^1991

Прежде всего полезно перейти к остаткам по модулю 7 в основаниях степеней. После чего понять, в какой степени эти остатки равны 1. Можно использовать для этого малую теорему Ферма.

1917=7*273+6
1991=7*284+3
Число (7*273+6)^1991 в соответствии с формулой бинома Ньютона представимо в виде 1992 слагаемого. При этом первые 1991 слагаемых содержат множитель 7, а последнее слагаемое равно
6^1991. Аналогично, число (7*284+3)^1917 представимо в виде 1918 слагаемых. Первые 1917 слагаемых содержат множитель 7, а последнее слагаемое равно 3^1917. Значит, если 6^1991.+3^1917
делится на 7, то и исходное число делится на 7.
6^1991=(7-1)^1991. Это число представимо в виде 1992 слагаемых. Каждое из первых 1991 слагаемых кратно 7, а последнее слагаемое равно (-1)^1991=-1.
Число 3^1917=(7-4)^1917 представимо в виде 1918 слагаемых. Первые 1917 слагаемых кратны 7, а последнее слагаемое равно (-4)^1917= -4^1917.
Число -4^1917= -(4^3)^639=-64^639= -(7*9+1)^639. Первые 639 слагаемых кратны 7, а последний член равен -1.
Следовательно, число 1991^1917+1917^1991 представимо в виде разности двух чисел 7*М-2 (М- натуральное число).Значит, число 1991^1917+1917^1991 не делится на 7.
Ответ:НЕТ

Зато если научиться (а это совсем несложно) считать по модулю, то такие задачи решаются в одну строчку:

[m]1991^{1917}+1917^{1991} = 3^{1917}+(-1)^{1991}=3^3\cdot(3^6)^{319}-1 = -1-1 = -2\ne0 \mod 7.[/m]

Здравствуйте, что в данном случае означает считать по модулю, и где про это можно что-то прочитать?

Загуглите сравнение по модулю, этого добра, например на YouTube, хватает.

Спасибо большое!

Добрый вечер всем! Я ученик 10 класса. Не могу выполнить Дз по алгебре.
1) доказать, что 4^9+1 делится на 5
2)доказать, что 4^7+26 делится на 5
3)777666^4+888333^5 делится на 37
4) 333555^2+222444^3 на 37
Спасибо

Билет имеет шестизначный номер. Билет называется счастливым по-ленинградски, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних цифр. Билет называется счастливый по-выборгски, если его номер делится на 11. Каких билетов больше: счастливых по-ленинградски или по-выборгски?

:

Подкину своих.
1)Доказать, что 1991^(1917)+1917^(1991) делится на 7. ( ^(a) — в степени a.
2)Найти все целочисленные a, при которых разрешимо уравнение
sin(x)-sin(ax)= -2.
3)Доказать x+y+1/(xy)>=3, при x,y — положительных.

Уважаемые преподаватели, помогите, пожалуйста, решить задачу:

Натуральные числа m и n таковы, что m>n, m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и m+n от деления на m-n. Найдите отношение m:n.

Я, естественно, написал: m=na+r, m+n=(m-n)b+r. Кручу по-всякому с этой системой, но никак не могу выудить оттуда искомое отношение. Подскажите хотя бы направление мысли! Спасибо.