Подборка задач на делимость

:

Доказать, что любые два натуральных числа m и k обладают следующим свойством: либо m, либо k, либо (m+k), либо (m-k) делится на 3.
(6-... кл.)

Доказать:
a) [m]10^n + 8[/m] делится на 9 ,
б) [m]10^n + 2[/m]делится на 3 ,
в) [m]n^3 -n[/m] делится на 6,
г) [m]k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3[/m] делится на 9 .
(6-...кл.)

"Если числа 4373 и 826 разделить на одно и тоже число, то получим соответственно остатки 8 и 7.
Чему равен делитель? (6-...)"

"Докажите, что при любом натуральном [m]n[/m] число [m]n^7-n[/m] делится на 7.
(6-...кл.)"

Семь целых чисел таковы, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что все они делятся на 5.
(6-... кл.)

Существуют ли простые числа [m]p[/m] такие, что [m]p^2+13[/m] — тоже простое число.
(7-8 кл.)

Неплохо!!!

"Числа [m]p[/m] и [m]2p+1[/m] простые и [m]p>3[/m] . Доказать, что число [m]4p+1[/m] составное.
(7-8кл.)"

Найти два таких числа, чтобы их сумма, произведение и частное от делении одного из них на другое были равны.

Доказать, что произведение всех чисел от [m]n + 1[/m] до [m]2n[/m] делится на [m]{2}^{n}[/m] и не делится на [m]{2}^{n + 1}[/m].

задачки не сложные, иногда и устные. В свое время набрал их для себя для ежедневной утренней зарядки — спасибо авторам!.
кому интересно — плиз.
ессно, не возбраняется дополнение поста и другими интересными задачками — плиз.
понимаю, что таких задач море — плиз, выкладывайте.

цель поста? да просто народу порешать влёт предлагаемые задачки и перейти к уже проблемным(этого форума!).