Дано 101 различное натуральное число

Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел − целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000.

… главного тренера. Каждый тренер приходил, наблюдал за лыжником ровно минуту, и уходил, причём в любой момент времени за лыжником наблюдал хотя бы один тренер. Каждый из тренеров сказал, что за его время наблюдения лыжник проехал ровно 100 метров. Главный тренер смотрел все 6 минут и сказал, что лыжник проехал ровно 1000 метров. Могли ли все сказать правду?

Максим и Илья увидели на заборе два числа и стали их обсуждать. Максим сказал, что a делится на 14, а b — на 7. Илья добавил, что a+b делится на 7, а a−b — на 14. Известно, что ровно два утверждения из четырёх верны. Какие?

Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Галя добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое n не делилось. Например, если на экране было число 10, Галя могла добавить 7 и получить 17.

Галя повторила такую операцию пять раз, и на экране оказалось число 160. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться?
P.S у меня проблема в том что я не могу понять как решить или какую формулу использовать

В городе N, состоящем из островов, с каждого острова выходит либо 5, либо 8 мостов. Причём у любых двух островов, соединённых мостом, количество исходящих из него мостов разное. Из какого наименьшего количества островов может состоять город N?

Даны 8 гирек весом 1,2,…,8 грамм, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит вес каждой гирьки. В доказательство своей правоты он готов провести одно взвешивание на двухчашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Помогите Барону провести такое взвешивание. Никаких других гирь у него нет, на чаши можно класть любое количество гирь.

Сопоставьте, какие гири необходимо положить на одну чашу, а какие — на другую.