Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

1) Бросают 4 игральных кубика. Найти вероятность, что А={на двух кубиках выпадет совпадающее число очков, на остальных – разное и отличное от двух других}, В={на всех 4 кубиках выпадет разное число очков}

2)8 водителей приезжают в город и оставляют автомобили на трех стоянках, выбирая ее случайным образом. Найти вероятность, что 5 человек выберут одну стоянку, двое – другую и один – оставшуюся.

1А=1/6*5/6*4/6+5/6*2/6*4/6+5/6*4/6*3/6=5/9

Если так подумать, разве вероятность А и В должны быть различны? Пусть на первом кубике выпадет a очков, на втором — b, на третьем — с. Тогда для четвертого кубика вероятность события А=(a,b или с) и В=(не а, не b, не с) одинаковая.

При дополнительном условии, что на первых трех кубиках выпало разное количество очков Ваше рассуждение верное. Но если эту гипотезу заменить на противоположную, то вероятность В будет равна нулю, а вероятность А — нет.

Это не доп. условие, а описание события. Нам по условию нужно, чтобы на трех кубиках были разные значения (6/6*5/6*4/6), а четвертый либо с кем-то совпал (А), либо был отличен ото всех (В). И так и так 3/6.

Вы ошибаетесь, Екатерина Павловна. По Вашему получается, что вероятность того, что на всех кубиках выпадет одно и то же число равна нулю. И это ТОЛЬКО потому, что такой исход не является БЛАГОПРИЯТНЫМ. Так рассуждая Вы должны получать, что вероятность любого события равна единице. Вы же пытаетесь вообще выбросить из рассмотрения события только потому, что они не являются благоприятными....

Вероятность выпадения одинакового значения на 4х кубиках = 6/6*1/6*1/6*1/6, как из моих рассуждений получился ноль?

Впрочем, оставим спор. Ваше решение я поняла, а у меня, похоже, не досчитаны перестановки.

6*6*5*4/6**4

1Б=5/6*4/6*3/6=5/18

1) P(A)=(6*5*4)/(6^4)=5/54; P(B)=(6*5*4*3)/(6^4); 2) P(A)=(3!*(8!/(5!2!1!)))/(3^8)=112/3^6

Для задачи 1а Вы, видимо, за элементарное событие берёте конкретный набор баллов, выпавших на перенумерованных кубиках. Тогда Вы ошибочно подсчитываете количество благоприятных исходов. Вы забыли учесть, что выпадет на четвертом кубике и который это будет кубик. Учитывая выбор 4-го кубика умножаем на 4; учитывая выбор результата 4-го кубика умножаем на 3; и делим на 2, поскольку каждый вариант получается подсчитан дважды с учётом перестановки кубиков с одинаковыми баллами. В итоге получаем мой ответ 5/9. Простите, если я не прав.

Я поставил лайк за решение второй задачи. Я сразу порадовался этому решению. Но только спустя время набрался впечатлений от других ответов и очень захотел выделить решение Сергея Петровича. Я полагаю, это решение второй задачи (выполненное просто по определению вероятности) самое простое. Признаться, сам я легко решил эту задачу и, наверное, поэтому не подумал, что можно решить её ещё легче. Я не догадался (или забыл) о том, что аналогично формуле количества сочетаний по 5 водителей из восьми данных можно составить и использовать формулу для количества пар сочетаний из 5 водителей (первое сочетание) и ещё двух водителей (второе сочетание)..

1) P(A)=(6*6*5*4)/(6^4)=6*5/54=5/9

1задача — верное решение.
2 задача — у меня получился ответ 0,1, тупо перебирала варианты

кажется, что 1-я задача решена верно, а во второй у меня ответ 0,1, я тупо перебирала варианты

ошиблась, во второй 1/8 тупо перебирая варианты. Задача сводится к модели: есть три числа от 0 до 8, сумма чисел-8. Найти вероятность выпадания чисел 5 2 1 в любом порядке.

Здравствуйте, Венера Марсовна :) Ваше решение неверное. При построении математической модели Вы не учли равновероятность элементарных исходов. Тупо переберите все варианты, когда водителей всего двое. Вы увидите, что вероятность набора 2,0,0 равна 1/9, а вероятность набора 1,1,0 равна 2/9. Так что задача НЕ сводится к модели про три числа.

Вероятность набора 2 0 0 и 1 0 0 в этой модели равна 0, так как сумма цифр в модели равна 8.

Вы не внимательны, Венера Марсовна. В качестве примера я предложил Вам рассмотреть случай, когда водителей всего двое.

Некоторые считают, что вероятность встретить динозавра, когда выходишь из подъезда, равна 1/2. Казалось бы использовано классическое определение вероятности: всего исходов два, а благоприятный только один. Ошибка данной «математической модели» в том, что эти два исхода НЕ равновероятны. Вы, Венера Марковна совершаете ту же ошибку в Вашем решении.

«2»=8*(2/3)^7*(C^2_7)/2^7=8*7! / (2!*5!*3^7)=8*7/3^6=56/729 (если не ошибся: дочка мне в другое ухо про экзистенциализм и ряженку рассказывала :) )

Так и есть. Ошибся Правильный ответ в 2 раза больше, т.е. 112/729. Дело в том, что как раз когда я записывал количество сочетаний C^2_7, дочка со мной начала разговор. Выбрав уже одного водителя, который окажется одиноким на парковке (поэтому потом надо умножить на 8); и посчитав вероятность того, что он действительно будет одинок (2/3)^7; я считал вероятность того, что оставшиеся 7 водителей поделят две оставшиеся парковки в пропорции 2:5. В качестве элементарного исхода я взял упорядоченный набор номеров парковки, выбранных соответственно каждым из 7 водителей. А ошибка произошла при подсчёте благоприятных исходов. Их будет 2* C^2_7, а я забыл умножить на 2. Умножение на 2 соответствует тому, что мы можем выбрать одну из ДВУХ оставшихся парковок, как «наиболее популярную».

Мне очень понравились задачки. Я только, наверняка, не уловил какой-то фишки вопроса. Причем здесь высшая математика? Я использовал только классическое определение вероятности и число сочетаний и дерево событий (вместо теорем о вероятностях). Понятно, что все три задачи могут быть описаны одной математической моделью, но я этого не делал. А такая модель что-то даёт? Или есть какой-то очень простой способ решения сразу для всех трёх задач? Мне кажется, что и мой способ не сложный, если он правильный, конечно :)

1) А Всего событий: 6^4=36*36=1296 Если на двух кубиках выпадет по 1-це, то 100 благоприятных событий(можно найти перебором с учетом порядка расположения чисел) Но цифр всего 6, значит мы имеем 100*6 вариантов благоприятных событий. Затем делим 600 на 1296. Получим: P=25/54
1) В Всего событий: 1296 Число благоприятных событий- это число размещений из 6 по 4, вычисляем по формуле: A(из m по n)=m!/(m-n)! A(из 6 по 4)=6!/2!=360
P=360/36*36=5/18

Мне кажется, что перебор 100 событий Вы организовали не удачно. 1) Выберем первое число (т.е. число баллов на «третьем» кубике), не равное 1. Это 5 способов. 2) Выберем второе число. Это 4 способа. 3) Выберем место (номер кубика) для первого числа. Это 4 способа. 4) Выберем место для второго числа. Это 3 способа. 5) Осталось перемножить 5*4*4*3 и поделить пополам (поскольку каждый способ посчитан дважды с учетом перестановки кубиков, на которых не выпала единица). Итог: 120, а не 100.

Рассмотрим задачу в такой интерпретации : единичный отрезок поделен на три равных части, на него бросается 8 точек. Какова вероятность, что в одной ячейке окажется 5 точек, во второй 2, в третьей 1. Вычисляем по формуле Бернулли Р(5), Р(2), Р(1), перемножаем их и умножаем на число перестановок ячеек, т.е . на 6. В результате получим 0,01746

Это решение задачки с парковками

Есть подозрение, что Вы перемножаете вероятности событий, которые не являются независимыми... Считая эти вероятности, Вы каждый раз имеете ввиду повторение события при ВОСЬМИ испытаниях? Или Вы используете формулу условной вероятности? Тогда что такое P(1)? Простите за непонятливость.

Ответы:1а-5/54
1б — 5/18
2 задача: 2/15
Поясню своё решение .
Имеем три числа от 0 до 8,
их сумма 8, найти вероятность, что это 5, 2, 1 в любом порядке.
Решаем: все возможные тройки это: 8 0 0 ( с перестановками 3 варианта)
7 1 0 ( с перестановками 6 вариантов)
,,,
5 2 1 ( с перестановками 6 вариантов)
и т,д, ,, нужных нам вариантов_6, всего вариантов — 6*5+3*5=45.

Обратите внимание, что событие 800 и событие 710 Вы считаете РАВНОВЕРОЯТНЫМИ. Но это ошибка. Событие 800 соответствует одному единственному результату поведения водителей, а событие 710 может быть получено восемью способами. Вот Вам ещё пример: два кубика бросают дважды и ищут вероятность того, что сумма выпавших очков равна 2. Некоторые считают, что вероятность равна 1/11. Вы в Вашей модели совершаете такую же ошибку.

1) P(A)=P(B)=5*4*3/(6*6*6)
2) 8*7*2/(3*3*3*3*3*3*)

2) первая машина выберет стоянку точно, вторая — одну из оставшихся с вероятностью 2/3, третья ту же самую — 1/3, остальные с вероятностью 1/3 каждая выберут оставшуюся, и того 2/2187

Вы ошибаетесь. Вы нашли вероятность другого события. Вы дополнительно потребовали, чтобы одинокой оказалась именно первая машина (и т.д.). Объясню на примере. Вероятность того, что на двух монетах выпадет один орёл и одна решка, равна 1/2. А вероятность того, что на первой монете выпадет орёл, а на второй решка, равно 1/4. Вероятности разные, поскольку события эти разные. Так и Вы нашли вероятность не того события, про которое спрашивали, а другого.

могли бы вы тогда сказать, какое же событие должно быть найдено? я имею в виду, правильно разложить его на произведение или сумму других

Разложить на произведение и сумму можно по-разному. Например, так. 1) Рассмотрим событие: «одиноким (далее водитель О.) на парковке окажется водитель с конкретным фиксированным номером, а остальные распределятся в соотношении 2:5 между оставшимися свободными парковками». Таких событий 8 штук. Они несовместны и в итоге мы будем складывать их вероятности. Т.е. умножаем на 8, поскольку их вероятности равны. Далее рассказываю про одно из этих восьми событий. 2) Посчитаем вероятность того, что водитель О. остался одинок. Это событие является произведением семи независимых событий (вероятность каждого 2/3) состоящих в том, что «каждый из оставшихся водителей выберет стоянку, отличную от О.» 3) Посчитаем условную вероятность: «при условии, что семь водителей выбрали две парковки требуем, чтобы они поделили эти парковки в отношении 2:5». Эту вероятность считаем по определению. Элементарным исходом является набор из семи цифр, каждая из которых равна 2 или 3 (номер парковки). Т.е. всего исходов 2^7. А благоприятным является такой набор, в котором ровно две двойки (таких исходов C^2_7) или ровно две тройки (таких исходов тоже C^2_7). Тут можно и про сумму несовместных событий (а каждое из них является произведением независимых) сказать, но это лишнее. Окончательный ответ: 8*(2/3)^7 * [ 2* C^2_7 / 2^7]. Это не самый простой способ решения. Это просто то, что мне сразу пришло в голову, когда я увидел данную задачу. Я и написал этот ответ (см. ранее). Кто-то скажет, что условная вероятность — это через чур сложно. Но, решая известную школьную задачу про ковбоя Джона, стреляющего по мухам, мы тоже используем условную вероятность. И лишь очень не аккуратные решатели используют для Джона произведение вероятностей в смысле произведения событий.

Благодарю, Николай, теперь понял, где я ошибся.

И Вам спасибо. Рад был помочь.