Вычисление площади (высшая математика)

[url=http://postimage.org/image/d5tsoabe7/][img]http://s19.postimage.org/d5tsoabe7/0009.jpg[/img][/url]
Задание 8. Хотел спросить, достаточно ли данных для него? И с чего начать?

[url=http://postimage.org/][img]http://s19.postimage.org/9yz94nqyb/0009.jpg[/img][/url]
[url=http://postimage.org/]upload pictures[/url]

Не получается (
Тогда так http://postimage.org/image/d5tsoabe7/

Были идеи заменить x=p*sin f, y = p*cos f
Выразить р через f, угол изменяется от 0 до 90 и найти площадь по формуле S=int(p^2*df)
Но как-то громоздко

Неужели никто не знает, как можно вычислить площадь?
Интеграл не получается взять — слишком сложный будет, если даже преобразовать в полярные координаты

Понимаете, полярные координаты это не какой-то универсальный метод-панацея. Нужно переходить к тем координатам, которые наиболее удобны. Вот у вас в задаче мешается сумма корней. Вот и возьмите сумму и разность этих корней за новые переменные.

Если предположить, что
sqrt(x/a)+sqrt(y/b)=m
sqrt(x/a)-sqrt(y/b)=n

n^2=16m^12*c^2/ab — m^2
Т.е. теперь координаты m и n m>=0 но как он изменяется ?
Площадь будет равна интегралу от n^2 dm ??

Так скажет мне кто-то, правильной ли я дорогой иду?

Начал бы я с того, что выписал бы условие задачи, чтобы оно было перед
глазами. Возможно, что в этом случае среди участников форума появится
больше желающих обсудить эту задачу (ходить по ссылкам не очень удобно).

Итак:

8. Вычислить площадь плоской фигуры, ограничен[н]ой данными линиями,
переходя к полярным, обобщённым полярным и другим криволинейным координатам
(sqrt(x/a)+sqrt(y/b))^12 = xy/(c^2)

Возникают вопросы.

Почему в условии задачи используется множественное число "данными линиями"?
Я вижу только одно уравнение. Ему что, соответствует несколько линий?
(Теоретически-экзотически такое могло бы быть.)
Или это такой канцелярский оборот? Я видел приказы, начинающиеся словами
"Отчислить за неуспеваемость следующих студентов", а заканчивающиеся
списком из одного-единственного студента.

Ну и главный вопрос: что вообще соответствует этому уравнению?
Не представляю себе, как можно приступать к интегрированию, не уяснив
этот вопрос. Может быть, ответ очевиден, и я не вижу чего-то простого?
Чтобы можно было говорить про площадь, должна быть замкнутая линия.
Например, если бы уравнение было таким: x^2+y^2=c^2, я сразу мог бы помочь.

Что-то я сегодня медленно соображаю и не могу сразу понять, как получилось
n^2=16m^12*c^2/ab — m^2 (пост #7).

Я воспользовался советом Александра Викторовича (см пост 7).
График необязательно строить. По функции можно сразу понять, что он расположен только в 1-й четверти (x>=0, y>=0). По-другому и не выйдет. Т.е. он ограничен координатными осями. Если построить его в программе, то так и получится

Я думаю, что употребление слова "функция" не является корректным,
так как уравнение, которое нам дано не имеет вид y=f(x).
По этой же причине вместо слова "график" лучше говорить "линия".
Линия расположена в 1-й четверти — в этом я с Вами согласен. Ну и что?
Я по-прежнему не понимаю, как можно говорить о площади, ограниченной
линией, если не уяснён хотя бы приблизительно вид этой линии.
Может быть, Вы уже для себя уяснили вид этой линии? Но я пока — нет.
Является ли линия замкнутой? Уходит ли в бесконечность?
Является ли линия самопересекающейся? На сколько частей линия делит плоскость?
На две части? Или на 10 частей? Если на 10 частей, то площади всех этих частей
нужно учитывать со знаком плюс или должно быть некоторое чередование знаков?
И уж тем более я не понимаю, как можно приступать к интегрированию,
не уяснив вид линии.
Или Вам известен алгоритм, на вход которого можно подать уравнение линии,
а на выходе получить выражение, имеющее вид: интеграл от такой-то функции
от такого-то нижнего предела до такого-то верхнего предела? (и при этом
совсем не интересоваться, как выглядит сама линия)

Функция не имеет вида y=f(x), что необязательно для функции. Это неявная функция. Она не уходит в бесконечность и пересекает x и y (они могут быть равными 0), ну а какой вид её на остальном интервале нам необязательно знать, главное знать — где она начинается и где заканчивается.
Буду признателен за любую помощь

Я ошибся, что сразу согласился с Вами, что линия расположена в 1-й четверти.
Возможны четыре случая:

1) a>0, b>0. В этом случае линия, действительно, расположена в 1-й четверти.

2) a>0, b<0. Тогда x>=0, y<=0. Но так как любое число в двенадцатой степени
неотрицательно, то должно быть xy>=0. В этом случае уравнению удовлетворяет
единственная точка x=0, y=0. Случай неинтересный.

3) a<0, b>0. В этом случае тоже уравнению удовлетворяет единственная точка
x=0, y=0.

4) a<0, b<0. Тогда x<=0, y<=0. Линия, удовлетворяющая исходному уравнению
(sqrt(x/a)+sqrt(y/b))^12 = xy/(c^2) расположена в 3-й четверти, причём она
центрально симметрична относительно начала координат линии
(sqrt(x/|a|)+sqrt(y/|b|))^12 = xy/(c^2).
Поэтому 4-й случай сводится к 1-му случаю.

sqrt(x/a)+sqrt(y/b)=m
sqrt(x/a)-sqrt(y/b)=n

Заменить sqrt(x/a)+sqrt(y/b)=m, затем пользуясь 2-м уравнением, выразить произведение xy и подставить в исходную функцию

А где выкладки?
Мне пришлось проделать выкладки самому, и у меня получилось по-другому.

Итак, исходное уравнение

(*) (sqrt(x/a)+sqrt(y/b))^12 = xy/(c^2).

Рассматриваем случай, когда a>0, b>0, и, соответственно, x>=0, y>=0.
Делаем замену

(1) sqrt(x/a)+sqrt(y/b) = m,
(2) sqrt(x/a)-sqrt(y/b) = n.

Каждое из равенств (1) и (2) возводим в квадрат:

(3) x/a + 2sqrt(x/a)sqrt(y/b) + y/b = m^2,
(4) x/a — 2sqrt(x/a)sqrt(y/b) + y/b = n^2.

Из равенства (3) вычитаем равенство (4):

(5) 4sqrt(x/a)sqrt(y/b) = m^2 — n^2,
(6) 4sqrt(xy)/sqrt(ab) = m^2 — n^2,
(7) sqrt(xy) = (sqrt(ab))(m^2 — n^2)/4,
(8) xy = ab((m^2 — n^2)^2)/16.

Делая в уравнении (*) подстановки по формулам (1) и (8), получаем:

(9) m^12 = ab((m^2 — n^2)^2)/(16(c^2)).

Без ограничения общности будем предполагать, что c>0.
Извлекаем из обеих частей равенства (9) квадратный корень
(учитываем при этом, что m^2>=n^2):

(10) m^6 = (sqrt(ab)/4c)(m^2 — n^2),
(11) 4c(m^6)/sqrt(ab) = m^2 — n^2,
(12) n^2 = m^2 — 4c(m^6)/sqrt(ab),
(13) n^2 = (m^2)(1 — 4c(m^4)/sqrt(ab)).

Это не соответствует тому, что написано в посте #7. Кто прав?

Вы абсолютно правы. На скорую руку делал преобразование... Но главное в другом: для нахождения площади нужно вычислить пределы изменения m и n

И всё? Всего лишь навсего пределы изменения m и n?
А мне кажется, что в первую очередь нужно понять,
как на плоскости mn выглядит линия, задаваемая уравнением
(13) n^2 = (m^2)(1 — 4c(m^4)/sqrt(ab)).

Это уже гораздо проще, чем понять,
как на плоскости xy выглядит линия, задаваемая уравнением
(*) (sqrt(x/a)+sqrt(y/b))^12 = xy/(c^2).

Но поскольку переход от координат m, n к координатам x, y
задаётся взаимно однозначными непрерывными функциями, можно
сделать вывод, что качественно (топологически) эти линии одинаковы,
а также качественно одинаковы области, ограниченные этими линиями.

Обозначим через W область, ограниченную линией (*) на плоскости xy.
А область, ограниченную линией (13) на плоскости mn, обозначим через M.
Исходная задача заключается в том, чтобы найти площадь области W.

Преобразования по формулам (1) и (2)
(1) sqrt(x/a)+sqrt(y/b) = m,
(2) sqrt(x/a)-sqrt(y/b) = n
переводят все точки области W в точки области M.
Каждый маленький кусочек области W преобразуется в маленький кусочек
области M. Но не той же самой площади! Площадь при таком преобразовании
увеличивается или уменьшается в k раз. Причём, коэффициент k может
зависеть от x и y (или, соответственно, от m и n).
А дальше всё просто. Нужно проинтегрировать k (или 1/k — тут важно
не ошибиться) по области M. Это и будет площадь области W.

Раз уж Вы так настаиваете, чтобы Вам помогли, то...
Мне известно как вычисляется площадь (классический прием). Но также мне известно кто скрывается под ником Сергей. А помогать человеку под маской у меня нет желания.

"Достоин ответа вопрос, а не спрашивающий" (С.Лукьяненко, "Императоры иллюзий")

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\left\{\begin{matrix}&space;(x-3a+1)^2+(y+2a)^2=a-1,&space;\\4x+3y=a+1&space;\end{matrix}\right." target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}&space;(x-3a+1)^2+(y+2a)^2=a-1,&space;\\4x+3y=a+1&space;\end{matrix}\right." title="\left\{\begin{matrix} (x-3a+1)^2+(y+2a)^2=a-1, \\4x+3y=a+1 \end{matrix}\right." /></a>

Хочу обучить своих учеников решать задачи по геомет рии с помощью Геогебры. Ссылки не открываются . Java стоит , но не работает.Как открыть?
Вариант 24:
http://www.geogebra.org/en/upload/files ... C2_24.html
Вариант 26:
http://www.geogebra.org/en/upload/files ... C2_26.html
Вариант 28:
http://www.geogebra.org/en/upload/files ... C2_28.html

Само задание здесь:
http://s019.radikal.ru/i611/1510/28/070bdf47c65b.gif

[URL=http://radikal.ru/big/d0c00a1e487142c08abc725178e8d468][IMG]http://s019.radikal.…

Помогите, пожалуйста, решить
http://hostingkartinok.com/show-image.php?id=d189a2c5199a79d6890872554bf96a7d

16 февраля прошел 2 тур олимпиады ВШЭ "Высшая проба".
Предлагаю задачи для обсуждения.