Уравнение циклоиды

Подскажите, пожалуйста, как выводится дифференциальное уравнение цикоиды, где это можно помотреть.

Вы уверены в том, что Вам нужно не просто уравнение циклоиды,
а именно ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение циклоиды?

А почему Вы это спрашиваете? Я знаю, как выводится уравнение циклоиды в параметрическом виде, и ,как следствие, в декартовых коодинатах. Но встетил запись: уравнение циклоиды может быть получено как решение определенного дифференциального уравнения второго порядка. Меня заинтересовало, каа выводится это уравнение, нигде не нашел.

А почему Вы спрашиваете "А почему Вы это спрашиваете?"?
Разве мой вопрос не является естественным?
Отвечаю на Ваш вопрос, почему я это спрашиваю.
Во-первых, на форум заходят посетители очень разной квалификации,
многие из которых сами не понимают, о чём они спрашивают.
Во-вторых, я не встречал в литературе такого термина
"дифференциальное уравнение кривой".
Разумеется, что если имеется дифференциальное уравнение,
то ему, как правило, соответствуют кривые.
Но заметьте, что не одна кривая, а обычно целое семейство кривых.
Но употребляют ли дословно такой термин
"дифференциальное уравнение кривой" — я не знаю.

Спасибо за Ваш ответ #3 — прояснилось, что Вам требуется.
Но всё-таки не совсем. Вам нужно именно уравнение ВТОРОГО порядка?
А разве, если есть обычное уравнение кривой (не дифференциальное),
то по нему нельзя составить дифференциальное уравнение, причём
не второго, а первого порядка? (Я сам должен подумать над этим вопросом.)

А может быть, Ваш вопрос лучше было бы сформулировать так:
"Какое можно придумать ПРОСТОЕ дифференциальное уравнение,
одним из решений которого является циклоида?"?

В такой формулировке вопрос становится интересным. Нужно подумать.

К сожалению нашел только на английском: The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent, by Yutaka Nishiyama. (Osaka Kendai Ronshu, 2011). PDF в интернете через Google.
Есть еще 2 английские ссылки, но это для общего развития: http://mathpages.com/rr/s8-03/8-03.htm
и http://tqft.net/papers/cycloid.pdf. Насколько там написана правда --- решать Вам.

Я конечно не точен- я не математик. Просто я набрал циклоида и попал в Википедию, а там написано, что кривая циклоиды может быть получена как решение диф уравнения, оно там приведено. Оно уравнение первого порядка, просто производная там в квадтате..
Вот мне хочется видеть вывод этого уравнеия.

Лучше чем у Yutaka я не напишу. Там на 6 стр. текста (314 в статье) всего 8 строк из 6-го пункта(The cycloid). Посмотрите. Хорошо написано. Вывод формул из параметрического уравнения циклоиды.

Вывод уравнения брахистохроны из вариационного принципа (in Russian): http://www.hse.ru/data/2013/03/10/1293638527/brachistochrone.pdf