Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях

Как доказать, используя т.Вейерштрасса, что последовательность x(n) = Po + P1/10 + P2/10^2+...+Pn/10^n сходится(если Pi неотрицательно и не превосходит 9)?

Согласно этой теореме любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Последовательность монотонно возрастает, так как прибавляются неотрицательные числа. Последовательность ограничена числом P0 + 1. Следовательно, она имеет предел, то есть сходится.

Все слагаемые положительные — значит последовательность монотонная. Сумма заведомо меньше 9+0.9+0.09+.. = 10, значит она ограничена. Тогда по теореме Вейерштрасса сходится.