Супремум, инфинум. Как доказать?

На чем строится доказательство существования пределов, верхних и нижних граней? Вроде понимаю определения и знаю теорию, но никак не могу понять, как писать доказательства. Как доказывать их существования?

В учебнике есть примеры доказательств. Что в них непонятно?

Долго ломаю голову, как доказать данную теорему. Не знаю, какой способ доказательства применить.

Сколько уникальных комбинаций можно составить из 4 символов?

Если:

На место первого символа можно поставить “А” или “B”, при условии что “A” может участвовать не больше чем в 2х комбинациях, “B” может участвовать не больше чем в 8 комбинациях. Далее буду писать сокращенно, A ⇐ 2, B ⇐ 8 ( ⇐ меньше или равно)
На место второго символа: C ⇐ 3, D ⇐ 4, E ⇐ 6
На место третьего символа: F ⇐ 5, G ⇐ 6
На место четвертого символа: H ⇐ 2, I ⇐ 2, J ⇐ 2, K ⇐ 8

Пожалуйста, подскажите как определить какие эти последовательности? См. фото
Пожалуйста😭😭😭

Пожалуйста, объясните, безвыходная ситуация

Не понятен подчёркнутый момент, а именно: не понятно почему мы говорим что g(xn) не равно y0. Вроде ,,на пальцах" понятно, что начиная с какого-то номера члены последовательности не могут быть равны у0(иначе бы не существовало предела g(xn)), но как это строго доказать?

P.S. Дальше доказательство понятно, не хватило места дописать.