Теорема

Не понятен подчёркнутый момент, а именно: не понятно почему мы говорим что g(xn) не равно y0. Вроде ,,на пальцах" понятно, что начиная с какого-то номера члены последовательности не могут быть равны у0(иначе бы не существовало предела g(xn)), но как это строго доказать?

P.S. Дальше доказательство понятно, не хватило места дописать.

Для произвольной непрерывной функции нельзя гарантировать, что g(x_n) не совпадает с g(x_0). Можете, например, рассмотреть функцию, тождественно равную константе — у неё значения вообще всегда одинаковые.

Не очень понимаю, как это может помешать доказательству приведённой теоремы.

Ведь если g(x_n) может совпадать с g(x_0), тогда мы не можем применять определение по Гейне. Или я не прав?

Если к последовательности, которая сходится к L, добавить элементы, равные L, она не перестанет сходиться к L.
Это утверждение решает затруднения?

Просто не совсем понимаю, к чему Вы пытаетесь применить определение предела по Гейне и на каком этапе возникают проблемы.

Спасибо. Возникали проблемы в понимании определения предела по Гейне. Думал, что x_n вообще не может равняться x_0. Теперь понял, что по условию, x_n не может тождественно равняться x_0

Я не знаю, как у Вас построен курс и какое было определение — по идее, могут быть разные вариации.

Обычно, что по Коши, что по Гейне рассматривается проколотая окрестность, т.е. x_n вообще не может равняться x_0.
См., например,
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%84%D1%83%…

Единственный смысл такого ограничения — оно позволяет работать с функциями, у которых есть предел в какой-то точке, но значение функции в этой точке от этого предела отличается.
Чаще это для односторонних пределов актуально.

В данном случае, когда всё непрерывно — что проколотая, что не проколотая окрестность, разницы нет особо (см. утв-е из моего предыдущего сообщения).

скорее всего подчеркнут тот факт, что окрестность, вообще говоря, выколотая