СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 132

Странное уравнение

Решить уравнение [m]log_a x = a^x[/m]
математика обучение     #1   06 ноя 2011 15:35   Увидели: 69 клиентов, 6 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
Нужно пересечь функции [m]a^{a^x}[/m] и x.
При a>1 первая функция больше второй при x>0
При a<1 первая функция не больше 1, а в нуле положительна, поэтому пересечения у них будут, выражаются ли полученные точки в элементарных функциях от a — мне неизвестно, но я сомневаюсь.
👍
+1
👎 1
[m]a^{a^x}>x[/m] не является верным.
Возьмём [m]a=e^{1/e}\approx 2.7^{0.37}\approx 1.44>1[/m].
При [m]x=e[/m] имеем:

[m]a^x=a^e=(e^{1/e})^e=e^{(1/e)\cdot e}=e^1=e[/m],

[m]a^{a^x}=a^e=e=x[/m].

Соответственно, мы получили, что при [m]a=e^{1/e}[/m] уравнение
[m]\log_a x=a^x[/m] имеет корень [m]x=e[/m].
👍
0
👎 0
Ага, умопомраченье нашло :(
👍
0
👎 0
Предложили такой случай а=1/16 . На этом примере пытаться понять, как решать
нам сказали.
  #3   06 ноя 2011 16:05   Ответить
👍
0
👎 0
не исключено, что над Вам подшутили:
при а=1/16 уравнение имеет три корня: 1/2, 1/4, и еще один, который элементарными методами(школьными) не находится (только по численке).
при этом 3-м корне равны и значения, и производные обеих ф-ий.
Если интересно, можно выложить уравнение для итераций.
👍
0
👎 0
А первые два корня Вы просто угадали? Я сам угадал 1/4. Я просто рисовал графики слева и справа, примерно. Но как появляется третье пересечение-не понимаю. Про два корня довольно просто.
  #5   06 ноя 2011 16:26   Ответить
👍
0
👎 0
нарисуйте, например, в excele, графики этих ф-ий с малым шагом, где-то 0.005

увидите касание в 3-м корне
👍
0
👎 0
итерации для поиска 3-го корня:
[m]x=-1/((ln(x)ln(16))[/m]

корень= 0.29746...(несколько итераций, надо бы поточней)

разность ф-ий для этого корня = 0.00104...
разность производных для этого корня = 0.0028...

Равны ли производные? Думаю, да.

Найдите этот корень поточнее.
👍
0
👎 0
[m]x=-1/(lnx*ln16)[/m]
👍
0
👎 0
поточнее будет: 0.36067376
👍
0
👎 0
Почему равны производные? Я думаю, что производные не равны.
👍
0
👎 0
ну, хорошо, допустим что это так — производные не равны.
Тогда Вы сможете это показать: в производные подставляете СВОЙ 3-й корень и сравниваете значения. Всё просто.
👍
0
👎 0
Ничего не понял. Что такое "СВОЙ 3-й корень"?
Что означает слово "подставлять", если корень в явном виде не выписан,
а известно только, что он существует? Что такое "Всё просто"?
👍
0
👎 0
"Я думаю, что производные не равны."

- ну, я и предложил Вам это обосновать простым способом
👍
+1
👎 1
Если рисовать графики обеих функций, то заметить точки пересечения невозможно,
независимо от масштаба.
👍
0
👎 0
Забыл написать, что изображено на этом рисунке.
Зелёным цветом — график функции [m]y=\log_{1/16}x[/m],
красным цветом — график функции [m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m].
К сожалению, цвета плохо видны.
👍
+1
👎 1
Нужно рисовать график разности двух функций и использовать различный
масштаб по разным осям координат.
👍
+3
👎 3
Функции [m]{{\log }_{a}}x[/m] и [m]{{a}^{x}}[/m] взаимнообратные и потому «третий» корень определяется из уравнения [m]{{a}^{x}}=x[/m]. Это не точка пересечения, а точка касания.
👍
+1
👎 1
"Функции ... взаимнообратные" — золотые слова, ключик.
👍
0
👎 0
.
Это Вы хотите сказать? Это верный факт. Таким образом, имеется точка
пересечения графиков функций [m]y=\log_{1/16}x[/m] и
[m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m], расположенная на прямой [m]y=x[/m].
Но в этой точке два графика не касаются — просто пересекаются.
👍
0
👎 0
Да, конечно пересекаются, а не касаются.
👍
0
👎 0
"Но в этой точке два графика не касаются — просто пересекаются."

ну, доказательство в студию...
👍
0
👎 0
Вообще-то говоря, я Вам не обещал, что этот факт имеет простое доказательство.
Это Вы утверждали (#8, #11), что доказательство этого факта должно быть очень
простым: что-то куда-то подставить. . .
Только я не понял, что куда подставлять. Тут уж Вам слово.

А как по Вашему, график #16 я нарисовал от руки и от фонаря? Тогда Вы ошибаетесь.
Я написал программу на С++, и график получился в результате работы этой программы.
От руки я вставил формулу для функции и указания масштабов по оси Ox и по оси Oy.
Зная масштабы, Вы легко можете найти по графику производную функции
[m]y=\log_{1/16}x-\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m] в "третьем" корне.
Впрочем, и так видно, что производная не равна нулю. Если бы графики функций
[m]y=\log_{1/16}x[/m] и [m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m]
касались, то производные этих функций в точке касания были бы равны,
а производная разности функций обращалась бы в ноль.
Для меня этого достаточно, чтобы быть уверенным: графики не касаются.

Но я понимаю, что ссылка на график может не быть для Вас убедительной.
И я не знаю, можно ли рассуждение про графики формализовать в аксиоматической
теории множеств Цермело-Френкеля, чтобы получить совсем уж строгое формальное
доказательство. Если я придумаю, как доказать отсутствие касания простым
способом, без ссылки на графики, то сообщу.
👍
0
👎 0
см. 07 ноя 2011 23:50 #26

см. #12 :
"Равны ли производные? Думаю, да."

- это моя гипотеза. Если докажу, ессно, выложу. Пока всё упирается в нахождение точного значения корня.

с уважением, Рамиль.
👍
0
👎 0
хорошее приближение к 3-му корню:
[m]x=\frac{1}{\ln{16}}[/m]

возможно, это корень
👍
0
👎 0
если это — корень, то, да — производные не равны.
если — приближение, то, для себя вопрос оставляю открытым.

дельта между функциями 7*10^(-5), между производными 0.02
👍
+3
👎 3
Решиь уравнение [m]{{16}^{-x}}=x[/m]
[m]x=\frac{W(\log 16)}{\log 16}\approx 0,36425[/m]

W(x)-функция Ламберта.
👍
+1
👎 1
Это корень, производные- разные.
👍
0
👎 0
да, теперь, убедительно: "производные- разные".
спасибо!
есть еще вопросы точности
1. об области сходимости итераций ламберта, скорости
2. о точности приближения

возможно, итерить [math] a^x=x [\math] дешевле
👍
0
👎 0
[m]a^x=x[/m] 
👍
+1
👎 1
Не ожидал такого обсуждения. Очень интересно. Много трудно. Спасибо.
  #30   08 ноя 2011 15:46   Ответить
👍
0
👎 0
А зря!!!

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно
ASK.PROFI.RU © 2020-2024