👍 +1 👎 |
Странное уравнениеРешить уравнение [m]log_a x = a^x[/m]
|
👍 0 👎 |
Нужно пересечь функции [m]a^{a^x}[/m] и x.
При a>1 первая функция больше второй при x>0 При a<1 первая функция не больше 1, а в нуле положительна, поэтому пересечения у них будут, выражаются ли полученные точки в элементарных функциях от a — мне неизвестно, но я сомневаюсь. |
👍 +1 👎 |
[m]a^{a^x}>x[/m] не является верным.
Возьмём [m]a=e^{1/e}\approx 2.7^{0.37}\approx 1.44>1[/m]. При [m]x=e[/m] имеем: [m]a^x=a^e=(e^{1/e})^e=e^{(1/e)\cdot e}=e^1=e[/m], [m]a^{a^x}=a^e=e=x[/m]. Соответственно, мы получили, что при [m]a=e^{1/e}[/m] уравнение [m]\log_a x=a^x[/m] имеет корень [m]x=e[/m]. |
👍 0 👎 |
Ага, умопомраченье нашло :(
|
👍 0 👎 |
Предложили такой случай а=1/16 . На этом примере пытаться понять, как решать
нам сказали. |
👍 0 👎 |
не исключено, что над Вам подшутили:
при а=1/16 уравнение имеет три корня: 1/2, 1/4, и еще один, который элементарными методами(школьными) не находится (только по численке). при этом 3-м корне равны и значения, и производные обеих ф-ий. Если интересно, можно выложить уравнение для итераций. |
👍 0 👎 |
А первые два корня Вы просто угадали? Я сам угадал 1/4. Я просто рисовал графики слева и справа, примерно. Но как появляется третье пересечение-не понимаю. Про два корня довольно просто.
|
👍 0 👎 |
нарисуйте, например, в excele, графики этих ф-ий с малым шагом, где-то 0.005
увидите касание в 3-м корне |
👍 0 👎 |
итерации для поиска 3-го корня:
[m]x=-1/((ln(x)ln(16))[/m] корень= 0.29746...(несколько итераций, надо бы поточней) разность ф-ий для этого корня = 0.00104... разность производных для этого корня = 0.0028... Равны ли производные? Думаю, да. Найдите этот корень поточнее. |
👍 0 👎 |
[m]x=-1/(lnx*ln16)[/m]
|
👍 0 👎 |
поточнее будет: 0.36067376
|
👍 0 👎 |
Почему равны производные? Я думаю, что производные не равны.
|
👍 0 👎 |
ну, хорошо, допустим что это так — производные не равны.
Тогда Вы сможете это показать: в производные подставляете СВОЙ 3-й корень и сравниваете значения. Всё просто. |
👍 0 👎 |
Ничего не понял. Что такое "СВОЙ 3-й корень"?
Что означает слово "подставлять", если корень в явном виде не выписан, а известно только, что он существует? Что такое "Всё просто"? |
👍 0 👎 |
"Я думаю, что производные не равны."
- ну, я и предложил Вам это обосновать простым способом |
👍 +1 👎 |
Если рисовать графики обеих функций, то заметить точки пересечения невозможно,
независимо от масштаба. |
👍 0 👎 |
Забыл написать, что изображено на этом рисунке.
Зелёным цветом — график функции [m]y=\log_{1/16}x[/m], красным цветом — график функции [m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m]. К сожалению, цвета плохо видны. |
👍 +1 👎 |
Нужно рисовать график разности двух функций и использовать различный
масштаб по разным осям координат. |
👍 +3 👎 |
Функции [m]{{\log }_{a}}x[/m] и [m]{{a}^{x}}[/m] взаимнообратные и потому «третий» корень определяется из уравнения [m]{{a}^{x}}=x[/m]. Это не точка пересечения, а точка касания.
|
👍 +1 👎 |
"Функции ... взаимнообратные" — золотые слова, ключик.
|
👍 0 👎 |
.
Это Вы хотите сказать? Это верный факт. Таким образом, имеется точка пересечения графиков функций [m]y=\log_{1/16}x[/m] и [m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m], расположенная на прямой [m]y=x[/m]. Но в этой точке два графика не касаются — просто пересекаются. |
👍 0 👎 |
Да, конечно пересекаются, а не касаются.
|
👍 0 👎 |
"Но в этой точке два графика не касаются — просто пересекаются."
ну, доказательство в студию... |
👍 0 👎 |
Вообще-то говоря, я Вам не обещал, что этот факт имеет простое доказательство.
Это Вы утверждали (#8, #11), что доказательство этого факта должно быть очень простым: что-то куда-то подставить. . . Только я не понял, что куда подставлять. Тут уж Вам слово. А как по Вашему, график #16 я нарисовал от руки и от фонаря? Тогда Вы ошибаетесь. Я написал программу на С++, и график получился в результате работы этой программы. От руки я вставил формулу для функции и указания масштабов по оси Ox и по оси Oy. Зная масштабы, Вы легко можете найти по графику производную функции [m]y=\log_{1/16}x-\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m] в "третьем" корне. Впрочем, и так видно, что производная не равна нулю. Если бы графики функций [m]y=\log_{1/16}x[/m] и [m]y=\left(\frac{1}{16}\right)^{x}[/m] касались, то производные этих функций в точке касания были бы равны, а производная разности функций обращалась бы в ноль. Для меня этого достаточно, чтобы быть уверенным: графики не касаются. Но я понимаю, что ссылка на график может не быть для Вас убедительной. И я не знаю, можно ли рассуждение про графики формализовать в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля, чтобы получить совсем уж строгое формальное доказательство. Если я придумаю, как доказать отсутствие касания простым способом, без ссылки на графики, то сообщу. |
👍 0 👎 |
см. 07 ноя 2011 23:50 #26
см. #12 : "Равны ли производные? Думаю, да." - это моя гипотеза. Если докажу, ессно, выложу. Пока всё упирается в нахождение точного значения корня. с уважением, Рамиль. |
👍 0 👎 |
хорошее приближение к 3-му корню:
[m]x=\frac{1}{\ln{16}}[/m] возможно, это корень |
👍 0 👎 |
если это — корень, то, да — производные не равны.
если — приближение, то, для себя вопрос оставляю открытым. дельта между функциями 7*10^(-5), между производными 0.02 |
👍 +3 👎 |
Решиь уравнение [m]{{16}^{-x}}=x[/m]
[m]x=\frac{W(\log 16)}{\log 16}\approx 0,36425[/m] W(x)-функция Ламберта. |
👍 +1 👎 |
Это корень, производные- разные.
|
👍 0 👎 |
да, теперь, убедительно: "производные- разные".
спасибо! есть еще вопросы точности 1. об области сходимости итераций ламберта, скорости 2. о точности приближения возможно, итерить [math] a^x=x [\math] дешевле |
👍 0 👎 |
[m]a^x=x[/m]
|
👍 +1 👎 |
Не ожидал такого обсуждения. Очень интересно. Много трудно. Спасибо.
|
👍 0 👎 |
А зря!!!
|