Помогите решить задачи по алгебре

В скольких вариантах можно восстановить пару натуральных чисел а, Ь по их НОД и НОК?

Любое натуральное число можно разложить на простые множители:
(2^i)*(3^j)*(5^k)*(7^l)*(11^m)*(13^n)*...
и задать в виде последовательности показателей:
i,j,k,l,m,n,. . . (нулевые показатели не пропускаем, тоже выписываем).
Например, 100 = 2^2*5^2 = 2^2*3^0*5^2, и числу 100 соответствует
последовательность 2, 0, 2 (а дальше идут нули).
Второй пример: 18 = 2*3^2, и числу 18 соответствует
последовательность 1, 2 (а дальше идут нули).
Для нахождения НОД и НОК нужно выписать последовательности одна под другой:
2, 0, 2
1, 2, 0
Сравниваем числа, стоящие одно под другим,
и для НОД берём минимум, а для НОК — максимум.
1, 0, 0 — это для НОД,
2, 2, 2 — это для НОК.

НОД(100,18) = 2^1*3^0*5^0 = 2,
НОК(100,18) = 2^2*3^2*5^2 = 900.

А теперь решаем обратную задачу. Даны две последовательности
1, 0, 0 — для НОД,
2, 2, 2 — для НОК.
Какими могли быть исходные последовательности?
В каждом столбце можно переставить верхнее и нижнее число двумя способами.
Всего получаем 2*2*2 = 8 способов:

1, 0, 0 → a = 2^1 * 3^0 * 5^0 = 2,
2, 2, 2 → b = 2^2 * 3^2 * 5^2 = 900,

1, 0, 2 → a = 2^1 * 3^0 * 5^2 = 50,
2, 2, 0 → b = 2^2 * 3^2 * 5^0 = 36,

1, 2, 0 → a = 2^1 * 3^2 * 5^0 = 18,
2, 0, 2 → b = 2^2 * 3^0 * 5^2 = 100,

1, 2, 2 → a = 2^1 * 3^2 * 5^2 = 450,
2, 0, 0 → b = 2^2 * 3^0 * 5^0 = 4,

2, 0, 0 → a = 2^2 * 3^0 * 5^0 = 4,
1, 2, 2 → b = 2^1 * 3^2 * 5^2 = 450,

2, 0, 2 → a = 2^2 * 3^0 * 5^2 = 100,
1, 2, 0 → b = 2^1 * 3^2 * 5^0 = 18,

2, 2, 0 → a = 2^2 * 3^2 * 5^0 = 36,
1, 0, 2 → b = 2^1 * 3^0 * 5^2 = 50,

2, 2, 2 → a = 2^2 * 3^2 * 5^2 = 900,
1, 0, 0 → b = 2^1 * 3^0 * 5^0 = 2.

Но если считать, что способы, получающиеся заменой a на b и b на a,
- это по сути один способ, то различных способов получается не 8, а 4.

А если общее количество различных простых множителей, появляющихся
(с разными показателями!) в разложении НОД и НОК, равно N, то
количество вариантов для a и b (до удаления симметричных вариантов)
получается равным 2^N, а после удаления симметричных — 2^(N-1).

Но если НОД=НОК, то a=b=НОД=НОК — вариант только один, что соответствует
формуле 2^N, так как в этом случае N=0.
А формула 2^(N-1) в этом случае не верна.

(x^2- bx- ax ab)/(x^2 bx – ax — ab)

Уравнение (x^2-x-1)^2-x^3=5, знаю что было, но тогда так никто и не решил. Хочу продолжить, помогите пожалуйста. Заранее благодарен!

Добрый вечер всем! Я ученик 10 класса. Не могу выполнить Дз по алгебре.
1) доказать, что 4^9+1 делится на 5
2)доказать, что 4^7+26 делится на 5
3)777666^4+888333^5 делится на 37
4) 333555^2+222444^3 на 37
Спасибо

№1. (2a)²⋅(-2а)
№2. (-а) ²⋅(3ab²)
№3 .(-2b²c)³⋅(-2bc²)²

Мы из МИРЭА(информационная безопасность) почитали "вопрос по алгебре" , Там очень похожие на наш типовик вопрсы. Может кто-то из преподавателей нам поможет. Нам так преподают, что почти ничего не понимаем или мы такие. Вот ссылка на наш типовик.
http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/algebra-1/sam_rab_1.pdf

При каких значениях параметра a, график квадратного трехчлена y = ax2 + a2 – 4 расположен целиком выше прямой у = 5.

Снова за помощью. Сколько нильпотентных, идемпотентных элементов в кольце вычетов по модулю 546, сколько там делителей нуля, сколько обратимых элементов.
Можно перебором, но модуль большой. Может кто укажет другие подходы.