Опускание груза на пружину

Задача:
Груз массой 10 тонн опускается подъемным краном со скоростью 0,2 м/с на пружину жесткостью 10000000 Н/м. Найти перегрузку — максимальную силу F, действующую на основание при остановке груза.

Как решать? Через "действие равно противодействию" и "сила пропорциональна ускорению через массу"? Или 3 закона Ньютона тут не при чем?

Картинку нарисовал:

Важно заметить, что сила упругости пружины в процессе сжатия не остаётся постоянной. В подобных случаях гораздо удобнее пользоваться законами сохранения.
Примем за начало отсчёта уровень, на котором находился груз в момент касания верхнего конца пружины, которая в тот момент ещё не была деформирована. Тогда в начальный момент полная механическая энергия системы "груз+пружина" — это начальная кинетическая энергия груза. В дальнейшем, поскольку ни трения, ни неупругих деформаций в условии не упоминается, П.М.Э. системы будет сохраняться; она складывается из К.Э. груза, П.Э. груза в поле тяжести Земли и П.Э. упруго деформированной пружины.
Подумайте, как будет себя вести каждое из слагаемых по мере опускания груза и какая величина примет предсказуемое значение в момент остановки груза. ;-)

А действие — конечно, да, равно противодействию. (Сила упругости, с которой пружина действует на груз, равна силе давления груза на пружину.)

Понял. Кинетическая энергия груза E1 = m v v /2 , где v — скорость груза, m — масса.
Энергия деформации пружины E2 = k x x /2, где x — величина деформации пружины, k — жесткость.
Про "П.Э. груза в поле тяжести Земли " можно поподробнее? Что считать-то?
Правильно, что:
E1 = E2 m v v/2 = k x x /2 ?

Чтоб Вы знали, закон сохранения энергии — это вовсе не "закон равенства кинетической энергии и потенциальной". В отсутствие потерь механическая энергия системы сохраняется. (Из чего она складывается?)

Когда груз опускается, сила тяжести сонаправлена с перемещением, значит, совершает положительную работу. Потенциальная энергия груза в поле тяжести уменьшается на величину совершённой работы.

При сжатии пружины сила упругости направлена противоположна перемещению груза, поэтому её работа отрицательна. Потенциальная энергия упругой деформации, стало быть, не уменьшается, а увеличивается.

Чем ниже опускается груз, тем меньше его скорость. (Кинетическая энергия убывает, потенциальная увеличивается...)

А, еще работу силы тяжести забыл.
Сила тяжести F = mg, перемещение от соприкосновения до остановки — и есть деформация пружины x.
Итого работа силы тяжести сила на путь A = mgx
Правильный баланс энергий:
m v v /2 + mgx = kxx/2
Так?

Новая картинка: до и после.
http://i27.fastpic.ru/big/2011/1209/e1/cb1eecfb38947e25af47118085fb6ae1.gif

Так, а силу-то, действующую на основание как найти?

Подумал силу можно найти по закону Гука: F = -kx
Осталось найти x. Уравнение квадратное, корня будет два.

Нашел два корня. Один отрицательный, его выкинул. Остался:
F = kx = mg + корень(mmgg + km v v)
Подставляю m = 10000 , v = 0,2 , k = 10000000
получаю F = 320000 Н

Во-первых, с ответом не совпало, получилось вдвое больше чем надо.
Во-вторых, странная какая-то формула получилась:
даже если взять v = 0, то нагрузка все-равно вдвое больше веса: F = 2mg
Как такое может быть? Если груз опускать очень медленно, то никакого удара не будет, и нагрузка должна быть равна весу.
Где была ошибка?

1) Даже если опускать груз на пружину без начальной скорости, он не остановится в положении, где kx = mg, а проскочит его по инерции. (И будет колебаться на пружине.)
Если мы хотим, чтобы груз остановился в положении равновесия — его придётся придерживать вплоть до положения равновесия. Но тогда задача становится совсем неинтересной. :-\
Про несоответствие ответа из задачника нашему с вами решению — ничего не могу сказать. Надо спрашивать составителей задачника. ;-)

2) Понимаю, что написать "вес" в четыре раза быстрее, чем "сила тяжести". ;-) Но давайте всё-таки не путать эти понятия. Сила, с которой тело давит на опору (а это и есть ВЕС), может быть как равна силе тяжести, так и больше или меньше. (В некоторых старых книгах — где среди авторов даже Л.Ландау! — сила тяжести упорно называется весом; мой моск этого одолеть не может...)

"1) Даже если опускать груз на пружину без начальной скорости, он не остановится в положении, где kx = mg, а проскочит его по инерции. (И будет колебаться на пружине.)"
- Я так понимаю, это произошло бы, если бы мы груз не опускали, а сбрасывали бы на пружину с начальной скоростью v. Но у нас в условии он опускается краном. Проскочит положение равновесия по инерции он может, но этот проскок будет зависеть от скорости опускания, и при нулевой скорости этого проскока не будет. А как тогда рассчитать этот проскок при ненулевой скорости?

"Понимаю, что написать "вес" в четыре раза быстрее, чем "сила тяжести". ;-) Но давайте всё-таки не путать эти понятия"
- Хорошо. Но и тем не менее, при очень малой скорости опускания нагрузка на основание должна стремится к силе тяжести груза, а не к двум силам тяжести.

"Если мы хотим, чтобы груз остановился в положении равновесия — его придётся придерживать вплоть до положения равновесия. Но тогда задача становится совсем неинтересной. :-\ "
- У нас получается задача совсем усложнилась:
груз не сбрасывают на пружину, а опускают краном на тросе. Но скорость опускания при этом не нулевая, поэтому положение равновесия груз все-равно проскочит. Но вовсе не на столько, как сбрасывании груза.
Вопрос: как считать такую хитрую ситуацию???

Уважаемый Закат, Пробовали ли Вы принять за уровень отсчета нижнее положение груза (т.е. ту высоту, на которой окажется груз после "проскока")?
P.S. Умеете же вы "озадачить" ;)

Если кран продолжает "придерживать" груз (до какого, кстати, момента?!), то никакого сохранения энергии не будет: не забудем про работу, которую совершает над грузом сила натяжения стропы.

как ее рассчитать?

Да никак. Если сила продолжает действовать — её зависимость от времени (или от перемещения груза) определяется лично крановщиком. Логично будет, если Вы к нему и переадресуете этот вопрос. :-]

"Уважаемый Закат, Пробовали ли Вы принять за уровень отсчета нижнее положение груза (т.е. ту высоту, на которой окажется груз после "проскока")?"

- Давайте попробуем.
Это значит просто сдвинуть ось координат вниз на величину x , которую мы ищем.
Соприкосновение груза и пружины произойдет на высоте -x (если ось направлена вниз), пружина сожмется на ту же величину x (от -x до 0) , и ее энергия будет такая же: E = kxx/2 . За время
сжатия пружины сила тяжести совершит ту же самую работу A = mgx.
Кинетическая энергия груза та же самая E = m v v/2
В итоге получаем то же самое уравнение:
m v v /2 + mgx = kxx/2
с теми же самыми корнями.
Похоже выбор начальной точки системы координат вообще ни на что не влияет...

"P.S. Умеете же вы "озадачить" ;) "
- Это плохо или хорошо?

" ...не забудем про работу, которую совершает над грузом сила натяжения стропы"
- В данном случае работа совершается против силы. Она равна произведению силы на путь. Но сила натяжения стропы не постоянная, а падающая. И чему равен путь, на котором считать работу?

См. #18.

"Да никак. Если сила продолжает действовать — её зависимость от времени (или от перемещения груза) определяется лично крановщиком. Логично будет, если Вы к нему и переадресуете этот вопрос. :-] "

- Со стороны троса на груз действует сила натяжения, направленная только вверх. В смыле, трос может тянуть груз, но не может его толкать ввиду своей гибкости.
Если крановщик не остановит вовремя опускание груза, то груз сам остановится на пружине, а стропы будут дальше опускаться, и просто складываться и изгибаться, больше не действуя на груз.
Крановщик мог бы остановить кран ровно в тот момент, когда груз на пружине находится в состоянии равновесия, и тогда нагрузка F на пружину и основание будет ровно mg. Но давайте посмотрим, что ему для этого нужно.
Под нагрузкой F = mg пружина с жесткостью k просядет на величину y = F/k = 10*10000/10000000 = 0,01 метр = 1 сантиметр. При скорости опускания груза 0,2 м/c , это расстояние груз пройдет за 1/20 секунды.
Да же если крановщик мастер кун-фу :-) , и обладает мгновенной реакцией, то все-равно механизмы крана не сумеют так мгновенно остановиться. Или крановщик остановит груз раньше времени, и груз даже не коснется пружины, или опоздает всего на 1/20 секунды, и груз проскочит положение равновесия, потом остановится, а кран будет продолжать движение вниз, и стропы будут просто складываться, не оказывая воздействия на груз.
В данной ситуации от действий крановщика ничего не зависит, процесс столь быстрый, что он ничего не успеет сделать. Поэтому давайте рассмотрим ситуацию, когда кран продолжает опускать крюк и после остановки груза на пружине, уже не воздействуя на груз.

Давайте.

Чему равна работа силы натяжения стропы? Сами сила не постоянная, и как найти путь, на котором она действует?

Я уже намекал, что сила натяжения стропы (как функция хоть координат, хоть времени) условием задачи явно не задана, так что если Вы хотите получить выражение для импульса (или работы) этой силы, Вам сперва придётся принять какую-то гипотезу о зависимости T(x) или T(t) — что я метафорически и назвал "спросить крановщика".

Лично мне кажется правдоподобной следующая гипотеза: кран вытравливает трос с постоянной скоростью. При этом на груз до касания пружины действуют две, очевидно, равные силы: тяжести и натяжения стропы. Но как только груз касается пружины, на него начинает дополнительно действовать сила упругости, и его движение становится замедленным — а так как, по предположению, скорость верхней части троса по-прежнему равна v, то трос перестаёт быть натянутым. (Вуаля.)

"Лично мне кажется правдоподобной следующая гипотеза: кран вытравливает трос с постоянной скоростью"

- Пожалуй именно так. Двигатель с постоянными оборотами крутит барабан через редуктор, независимо от нагрузки, скорость опускания троса постоянная.

"При этом на груз до касания пружины действуют две, очевидно, равные силы: тяжести и натяжения стропы"

- Причем, так как груз движется вниз с постоянной скоростью (и значит без ускорения), то по 2м закону Ньютона, сумма этих сил равна нулю, то есть сила натяжения троса до касания пружины равна mg и направлена вверх.

"Но как только груз касается пружины, на него начинает дополнительно действовать сила упругости, и его движение становится замедленным — а так как, по предположению, скорость верхней части троса по-прежнему равна v, то трос перестаёт быть натянутым. (Вуаля.)"

- А вот с этим, поразмыслив, не согласен.
Пока пружина мало сжата, она не может действовать с большой силой, и не способна одна противостоять силе тяжести груза mg. Если же скорость груза хотя бы немного снизится, то трос перестане быть натянутым, провиснет, и перестанет тянуть груз вверх.
В итоге, груз продолжает двигаться с ТОЙ ЖЕ САМОЙ СКОРОСТЬЮ v, меняется только соотношение сил: силы упругости пружины и силы натяжения троса. Чем больше толкает груз пружина, тем меньше тянет груз трос. А сумма этих сил продолжает быть равной силе тяжести mg:
Fтроса + Fпружины + mg = 0
Ускорения нет, скорость остается равной начальной скорости v
http://i27.fastpic.ru/big/2011/1211/b9/c50ce81f85c6fd8f34e1b8699abbf2b9.gif

Странная какая-то у Вас логика.
"Если одна сила уменьшится, то другая обязательно увеличится, ПОТОМУ ЧТО их сумма обязательно должна остаться неизменной." Простите, но с какой стати?!

"Странная какая-то у Вас логика.
"Если одна сила уменьшится, то другая обязательно увеличится, ПОТОМУ ЧТО их сумма обязательно должна остаться неизменной." Простите, но с какой стати?!"
- Нет, немножко не так. Правильнее вот так:
Сила натяжения троса может меняться в широких пределах, но подчиняется следующим правилам:
1) она не бывает отрицательной (трос может натягиваться, но не может сжиматься — он просто согнется, и толкать груз как шток не сможет)
2) у не натянутого троса она равна нулю

Отсюда следствие:
сила натяжения троса есть, только если груз движется с такой же скоростью v, с какой кран опускает трос. Если груз опускается медленнее, чем кран разматывает трос, то трос не натянут, и его натяжение равно нулю. (трос считаем нерастяжимым).

На груз у нас действуют три силы (рисунок в #24):
сила натяжения троса (направлена вверх, ее ищем), сила тяжести (направлена вниз, всегда равна mg), сила упругости пружины (направлена вверх, равна F = kx).

1. Если бы равнодействующая (сумма этих трех сил) была направлена вниз, то груз двигался бы вниз с ускорением. Но груз не может двигаться быстрее скорости опускания крана v, иначе трос растянется или порвется, поэтому данный случай не реализуется.
2. Если равнодействующая направлена вверх, то груз движется с замедлением. В итоге, он отстает от скорости опускания крана v, трос перестает быть натянут, и сила натяжения троса равна нулю. В итоге, на груз действуют только две силы: сила тяжести mg, и сила упругости пружины F=kx. Что бы равнодействующая была направлена вверх, сила упругости должна быть больше силы тяжести, и именно в этом случае этот вариант реализуется.
3. Во всех остальных случаях (когда сила упругости пружины меньше силы тяжести груза), сила натяжения троса такова, что бы равнодействующая была равна нулю, ускорения не было, скорость движения груза оставалась постоянной и равной v, трос оставался натянут, и обеспечивал эту самую силу натяжения этого самого троса.

>> 3. Во всех остальных случаях (когда сила упругости пружины меньше силы тяжести груза), сила натяжения троса такова, что бы равнодействующая была равна нулю, ускорения не было, скорость движения груза оставалась постоянной и равной v

Вот я всё пытаюсь понять, откуда этот постулат — что сила натяжения стропы ровно такова, чтобы обеспечить равномерное движение груза. Вам это кажется настолько ясным, что Вы всё время уклоняетесь от обоснования? :-Ь
Тогда вот Вам ссылочка в тему: http://eruditor.ru/m/?29

Заметьте, я не говорю, что Ваше утверждение ложно. Оно просто представляется мне недостаточно обоснованным.

"Вам это кажется настолько ясным, что Вы всё время уклоняетесь от обоснования? :-Ь"

- Вообще-то я не уклонялся, а дважды пытался это объяснить, но похоже делал это непонятно. Попробую в третий раз.

"Вот я всё пытаюсь понять, откуда этот постулат — что сила натяжения стропы ровно такова, чтобы обеспечить равномерное движение груза"

- Предположим ситуацию: на груз в данный момент времени действует: сила тяжести mg, сила упругости пружины меньше силы тяжести, пусть mg/2 , и сила натяжения троса НЕ равная mg/2.
1. Пусть сила натяжения троса больше mg/2 и равна например mg. Тогда равнодействующая этих трех сил будет mg/2 и направлена вверх. Под действием этой силы груз приобретет ускорение вверх (замедление скорости). Груз отстанет от троса, трос провиснет, и сила натяжения троса из mg превратится в ноль. Данное решение неустойчиво и само себя убило.
2. Пусть сила натяжения троса меньше mg/2 и равна mg/3. Тогда равнодействующая этих трех сил будет mg/6 и направлена вниз. Под действием этой силы груз приобретет ускорение вниз (увеличение скорости). Груз пытается обогнать трос, трос нерастяжим, и сила натяжения троса из mg/3 превратится в бесконечность. Тоже не усточиво, и тоже не реализуется.

В итоге, сила натяжения троса саморегулируется (в доступных пределах) так, что бы трос все время оставался натянут, то есть скорость груза совпадала со скоростью троса.

Это так же как с силой реакции опоры, действующей на книгу лежащую на неподвижном столе. Сила реакции опоры обязана быть равна силе тяжести, иначе книга или взлетит вверх, или провалится сквозь стол вниз. Единственное устойчивое решение — сила реакции опоры равна силе тяжести. Только тогда книга будет продолжать лежать на столе.

Дорогой друг, избегайте что-либо доказывать при помощи числовых примеров. :-( Потому что если при взятых наугад числовых значениях получится бессмысленный ответ — это может означать не то, что обсуждаемая ситуация невозможна в принципе, а просто, что сами выбранные значения некорректны.

Но тем не менее хочу Вас поздравить — Вы меня убедили в физичности Вашей модели. В-)

Если мы уверены, что груз будет двигаться равномерно вплоть до момента, когда сила упругости пружины уравновесит силу тяжести груза — давайте этот момент и выберем в качестве начального, записывая закон сохранения энергии! Только теперь в уравнении, в отличие от #5, и в левой, и в правой части потенциальная энергия будет отлична от нуля.

"Заметьте, я не говорю, что Ваше утверждение ложно. Оно просто представляется мне недостаточно обоснованным."

- А не могли бы вы свое вИдение процесса описАть? Какой характер движения груза после соприкосновения с пружиной, и какова сила натяжения троса?

Господа!
Здесь все просто.
Пружинный маятник с заданными параметрами и заданной энергией колебаний.

Кстати, ответ существенно зависит от коэффициента жесткости троса, на котором висит груз и который не задан.

С добрым утром, Виктор Евгеньевич.

"Здесь все просто.
Пружинный маятник с заданными параметрами и заданной энергией колебаний."
- Масса и упругость заданы. А энергию колебаний откуда взять?

"Кстати, ответ существенно зависит от коэффициента жесткости троса, на котором висит груз и который не задан."
- Если жесткость троса и жесткость самого груза не заданы, то наверное их можно считать много более жесткими, чем пружина.

"Если мы уверены, что груз будет двигаться равномерно вплоть до момента, когда сила упругости пружины уравновесит силу тяжести груза — давайте этот момент и выберем в качестве начального, записывая закон сохранения энергии! "
- Давайте. В этот момент скорость все еще v, но пружина уже частично сжата, и продолжает сжиматься. Груз опускается замедленно, сила тяжести продолжает совершать работу. Пусть он опустится от этой точки еще на расстояние x.
Работу совершает кинетическая энергия m v v/2 , и потенциальная энергия груза mgx, против пружины. Трос начиная с этой точки провисает, и в совершении работы уже не участвует. Энергия пружины увеличивается. Но пружина уже была частично сжата и обладала энергией.
Нужно их рассчитать.

В момент, когда сила упругости пружины равна силе тяжести, пружина сжата на величину y, такую что F = ky = mg ,отсюда y = mg/k . Энергия пружины E = kyy/2
В ходе дальнейшего сжатия на величину x энергия пружины станет k(x+y)(x+y)/2
http://i30.fastpic.ru/big/2011/1213/2b/83b90ba60f0249ba94b32a33d57b102b.gif

Кинетическая энергия m v v/2 и потенциальная энергия mgx переходят в разницу энергий упругости k(x+y)(x+y)/2 — kyy/2
m v v/2 + mgx = k(x+y)(x+y)/2 — kyy/2
где y = mg/k . Подставляем y
m v v/2 + mgx = k(x+mg/k)(x+mg/k)/2 — kmmgg
раскрываем скобки, ох какое уравнение длинное будет...

Аяяяяй, следите за размерностями! 8-(

m v v/2 + mgx = kxx/2 + mg + mmgg/2k — mmgg/k
kxx/2 — mgx -mmgg/2k — m v v /2 +mg = 0
так вроде

Не знаю.
Лень считать.

В момент касания грузом пружины, пружина — не сжата. Потенциальную энергию сжатой пружины можно принять за ноль.
В этот же момент времени кинетическая энергий груза известна.
Если трос — абсолютно невесомая, нерастяжимая нить, то потенциальная энергия сжатого (растянутого, конечно, равна нулю).
Остается только продумать, надо ли учитывать потенциальную энергию груза в момент касания пружины по отношению к положению равновесия.

Если Ваши рассуждения совпадают с приведенными, то, полагая (не принимая, а полагая), что приведенные рассуждения верны, то и Ваш ответ — верен.

Коли лень, так и не писали бы.
Но Вам и читать, кажется, лень. Мы всё это с Закатом уже подробно обсудили.

Уравнение получилось очень громоздкое. И найти-то нам нужно в конечном итоге не дополнительное перемещение x, а силу F, которая будет равна F = k(x+y).
Поэтому удобнее записать уравнение не относительно x, а относительно (x+y) Или сразу относительно F

Можно, конечно. Но от этого уравнение менее громоздким не станет, разве только менее прозрачным.

Обозначим (x+y) за z — полное проседание пружины в момент остановки, когда мы и измеряем силу.
у нас y — проседание пружины в момент когда сила тяжести равна силе упругости, и значит y = mg/k
В этот момент:
кинетическая энергия E1 = m v v/2
упругая энергия частично сжатой пружины E2 = kyy/2 = kmmgg/2kk = mmgg/2k
дальше груз проседает на расстояние x , и высвобождается потенциальная энергия E3 = mgx = mg (x+y-y) = mg(z-mg/k) = mgz — mmgg/k
Энергия пружины становится E4 = kzz/2
по закону сохранения энергии E1 + E2 + E3 = E4

Ну вот видите, как всё здорово.
Единственно, я не люблю говорить о "высвободившейся" энергии (просто потому, что ученики при этом ошибаются в знаках — чаще, чем если бы просто записали в левой части уравнения начальную потенциальную энергию, а в правой конечную).

E1 + E2 + E3 = E4
m v v/2 + mmgg/2k + mgz — mmgg/k = kzz/2
kzz/2 — mgz + mmgg/2k — m v v/2 = 0

Ну типа да. (Вы не хотите освоить набор формул в формате ТеХ?)

Мне бы проще в формате Word-а :)
Может ТЕХ и хорош, но изучать его долго, а пользоваться редко...

корни
z = [ mg +- корень{ mmgg — 2k(mmgg/2k — mv v/2) } ]/k
раскрываем скобки и сокращаем
z = [ mg +- корень(km v v) ]/k = [ mg +- v * корень(km) ]/k
Так как F = kz, то
F = mg +- v* корень(km)
Нас интересует только корень со знаком "+"
F = mg + v*корень(km)
подставляем m = 10000 , v = 0,2 , k = 10000000
F = 100000 + 0,2 * корень(100000000000) = 163000 Н

Как круто под корнем все сокращалось :)

А почему нельзя проще?
В момент разгрузки троса система находится в положении равновесия, относительно которого будут происходить колебания. Произведение скорости (в данный момент она является максимальной) на циклическую частоту есть максимальное ускорение. Далее второй закон Ньютона для крайнего нижнего положения.
Или колебательное движение ещё не изучалось?

Ой как здОрово и просто получается. А в виде формул это можете написАть?

Нашел хорошую статью про пружинный маятник:
http://www.xenoid.ru/phys_book/content/chapter2/section/paragraph2/theory.php
Его собственная круговая частота:
w^2 = k/m впрочем нам она не нужна ;-)
Амплитуда колебаний x от резкого толчка со скоростью v из положения равновесия
x = v* корень(m/k)
Так как положение равновесия у нас y = mg/k
то в нижнем положении сжатие пружины z = y+x = mg/k + v* корень(m/k)
А сила F = kz = k(x+y) = mg + k v* корень(m/k) = mg + v* корень(mk)
И тот же ответ F = 100000 + 0,2 * корень(100000000000) = 163000 Н
...Как просто решать, если готовые формулы использовать :-)

Всё хорошо, кроме последней фразы. :-/
Сотни раз я наблюдал, как студент-раздолбай, которому демонстративно разрешили пользоваться любыми источниками, лишь бы только ответил — ни в шпаргалках, ни в тетрадках, ни в книгах не может найти ответ, ибо не понимает вопроса. Как хорошо, что Вы не из таких. ;-)

Не могу понять равенство работ простых механизмов . Объясните пожалуйста, как решать задачи на эту тему .

Вдоль наклонной плоскости длинной 3м и высотой 1м вверх перемещают ящик, прилагая силу 240 Н. Масса ящика 60 кг.
а) Рассчитайте работу, которую совершают при подъеме ящика по наклонной плоскости и без неё на высоту 1м.
б) Выполняется ли золотое правило механики ?
в) Какую работу пришлось совершить для преодоления силы трения?
г) Рассчитайте КПД наклонной плоскости.

Груз массой 1,5 кг поднимается по наклонной плоскости под действием силы 12 Н, направленной параллельно наклонной плоскости. Наклонная плоскость составляет угол 30° с горизонтом. Коэффициент трения равен 0,25. Найдите ускорение груза.

1) При равнозамедленном движении за 60с частота вращения колеса уменьшилась от 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, совершенных колесом за это время


2) К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой 50 кг приложена касательная сила 100 Н. Найти угловое ускорение колеса? Через какое время после начала действия этой силы частота вращения достигнет 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь

Как находить угловое ускорение?
СПАСИБО!

1. На неподвижной тележке сидят кошка массой m и собака массой 4m. Кошка спрыгивает с тележки. С уже движущейся тележки по направлению к кошке спрыгивает собака, и скорость тележки возрастает в 7 раз. Найти массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей кошки и собаки перед приземлением одинаковы.