Найти n

При каком n величина [m]\prod\limits_{k=4}^{n}{({{k}^{3}}}+1)-\prod\limits_{k=4}^{n}{(}{{k}^{3}}-1)[/m] будет кратна 100

[m]k^3+1 = 0,1,2,4,3\pmod{5}[/m] и [m]k^3-1 = 3,4,0,2,1\pmod{5}[/m], кроме того должно быть понятно, что [m]k^3 = (k+5)^3\pmod{5}[/m].

Из сказанного следует.

1) [m]I_8 = J_8\pmod{5^2}[/m].
2) [m]I_n = 0 \pmod{5^2}[/m] при [m]n\ge 9.[/m]
3) [m]J_n = 0 \pmod{5^2}[/m] при [m]n\ge 11[/m].
4) [m]J_9 \ne 0 \pmod{5^2}[/m] (у нас есть только одна скобочка, которая делится на пять и она не делится на 25: [m]k=6[/m] [m]k^3-1=215[/m]);
5) [m]J_{10} \ne 0 \pmod{5^2}[/m] (у нас есть только одна скобочка, которая делится на пять и она не делится на 25: [m]k=6[/m] [m]k^3-1=215[/m]);


Из этого легко следует, что нам подходят [m]n=8[/m], [m]n\ge 11[/m]. [m]n=9,10[/m] не подходят т.к. [m]I_n = 0 \pmod{5^2}[/m], а [m]J_n \ne 0 \pmod{5^2}[/m] при этих значениях. Числа [m]n=4,5[/m] не подходят т.к. даже [m]I_n \ne J_n\pmod{5}[/m]; [m]n=6[/m] не подходит т.к. [m]I_n \ne J_n\pmod{4}[/m]. Я не вижу ничего лучше как для [m]n=7[/m] убедиться в том, что оно не подходит непосредственным вычислением по модулю 25.

С [m]I_n = J_n\pmod{2^2}[/m] ситуация проще и я надуюсь, что "читатель" сам сможет с ней разобраться.

Ответ:[m]n=8[/m], [m]n\ge 11[/m]. Еще в ответ можно включить [m]n=1,2,3[/m], т.к. по общепринятому соглашению если верхний индекс в произведении меньше нижнего, то произведение полагается равным единице.

Думаю, что выложенная задача есть попытка получить помощь в решении задачи идущей сейчас олимпиады Физтех2017(8 класс).Она имеет совершенно детское решение, но его пока нельзя выкладывать.

Вычислить с точностью до 0,01
[m]\sum\limits_{1}^{20}{\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+4}}{{{n}^{3}}}}[/m]
Не представляю, как делать вообще.

В результате некоторого эксперимента получили закон распределения вероятностей дискретной случайно величины x, однако в процессе записи одно значение по ошибке было пропущено
x 2 4 5 8 9
p 0,1 0,3 ? 0,1 0,1

случайная величина X задана функцией распределения F(X). Требуется найти плотность распределения и мат. ожидание
0 при x<=П/4
F(X)= 1-sin2x при П/4< x <= П/2
0 при x>П/2

Ну и от меня разминка на утро.
1) [x]*{x}<x-1, где [x]-целая часть, {x} — дробная часть.
2) Найти максимальное значение выражения x^2*y-y^2*x, где 0<=х<=1, 0<=y<=1.
3) В треугольнике АВС длины всех сторон целые числа,причем длины АВ и ВС простые, величина угла В — 120 градусов.Найти АС.

Как связаны между собой современная величина и наращенная сумма ренты?
А) А(l+I)n=S; В) Ani=S;
Б) An(l+i)=S; Г) A=Sin.

Сама думаю вариант Б