Найти число

Девятая степень однозначного числа оканчивается на 7. Найти это число.

[m]\varphi (10) = (2-1)(5-1)=4[/m] (где [m]\varphi\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}[/m] есть функция Эйлера). Из малой теоремы Ферма мы заключаем, что для любого натурального числа n взаимно простого с 10 мы имеем [m]n^4 = 1\pmod{10}[/m].

Понятно, что искомое число x взаимно просто с 10, значит:

[m]x^9 = x^{2\cdot 4+1} = x^1 = 7\pmod{10}.[/m]

Значит x=7.

Они хочут свою образованность показать и всегда говорят о непонятном.

Андрей Михайлович!
Очень изящное решение :-)
Но уверен, что человек, понимающий написанное, вряд ли бы спрашивал, как решать задачу в СП.
Однако для пытливых умов, я постараюсь пояснить, что происходило.
Сначала использовались свойства функции Эйлера:
[m]\varphi(n \cdot m) = \varphi(n) \cdot \varphi(m), (n,m) = 1[/m],
где (n,m) — НОД(n,m).
Далее, учитывая, что 10=2*5, а 2 и 5 — простые числа, использовалось простое свойство (хотя можно и руками посчитать) функции Эйлера:
[m]\varphi(p) = p-1[/m].
Затем использовалась не малая теорема Ферма, а теорема Эйлера (искомое число взаимно просто с 10, так как не кратно 2 и 5):
[m]a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m \Rightarrow x^4 \equiv 1 \pmod {10}[/m]
Ну и наконец, раз девятая степень искомого числа оканчивается на 7, то разность этой степени и 7 оканчивается на 0, а значит кратна 10, т.е.
[m]x^9 \equiv 7 \pmod {10}[/m].
Далее вспоминаем теорему Эйлера и свойства сравнений:
[m]x^4 \equiv 1 \pmod {10} \Rightarrow 1 \equiv x^4 \pmod {10} \Rightarrow 1 \equiv x^8 \pmod {10} \Rightarrow \\ \Rightarrow x^9 \equiv 7x^8 \pmod {10} \Rightarrow x \equiv 7 \pmod {10} \Rightarrow x = 7[/m],
так как x — однозначное число.

Ну, теперь даже ленивый поймет, что произошло)

Сразу отбрасываем:
а) число 1 — в любой степени 1
б) все чётные (2, 4, 6, 8) и 5 — их степени не могут заканчиваться на 7.
Остаются 3, 7 и 9
Возводя некоторое число в различные степени, можно заметить, что последняя цифра изменяется согласно некоторому циклу, например:
[m]2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32...[/m]
Как видно, этот цикл у двойки состоит из 4-х цифр: {2;4;8;6}, и будет повторяться до бесконечности.
Циклы (начиная с первой степени):
3 — {3;9;7;1}
7 — {7;9;3;1}
9 — {9;1} — тоже отбрасываем.
Девятая степень для оставшихся чисел — 2 полных цикла +1, тогда степень 3 будет оканчиваться на 3, а степень 7 на 7.
Следовательно, искомое число — 7.

Я бы сделал так, кажется короче(суть та же). a^9= 7(mod 10) – это дано. Кроме того, очевидно, что (7, 10)=1 и ( a , 10)=1. По теореме Эйлера, a^f(10) =1(mod 10). Следовательно, a^4 =1(mod 10) и, после возведения в квадрат, a^8 =1(mod 10). Поделим почленно a^9 =7(mod 10) на a^8 =1(mod 10) и получим a=7(mod 10). Это означает, что a=7.

С каких это пор сравнения модно делить? ;-)
В остальном (если правильно дорешать) у Вас то же самое решение, что и у Андрея Михайловича, только совсем без подробностей (а не короче).

Вариантов всего два:3 и 7. Беру калькулятор, возвожу 3 в степень 9- не получается. Беру 7- получается.
И к чему вся эта научная тряхомудия?

Вот дадут вам двухзначное или трехзначное число. Тоже будете в 9 степень возводить на калькуляторе или на счеты перейдете?
А если ещё и степень станет, например, 99, то "тряхомудия" будет в ваших вычислениях.

. Девятая степень однозначного числа оканчивается на 7. Найти это число.

http://ege.yandex.ru/mathematics-gia/question/7/5/
Какое число получиться если возвести (-3*√3) в 3 степень?

здравствуйте! у меня система с логарифмическим неравенством и неравенство с модулем, который возводится в степень.
скажите пожалуйста, если одно из неравенств не имеет смысла, а второе имеет решение, то имеет ли ВСЯ система решение или смысл??( у меня совсем из головы это вылетело, а так все решено)