Нахождение вектора касательной из вектора нормали

Здравствуйте!
Есть две точки в пространстве, известны координаты обеих. Так же известны значения векторов нормали в каждой из них для пространственной кривой, проходящей между точками. Кривую можно посчитать полиномом третьей степени, зная значения касательных векторов (как производной функции). Как найти касательные вектора в данном случае?

Известны только координаты точки и вектор нормали к пространственной кривой линии в этой точке? Этого недостаточно для расчёта касательного вектора.

Есть ещё наличие второй точки на этой кривой, она определяет плоскость, в которой должна быть касательная (касательная, нормаль и ребро между точками).

Это дополнительное условие? Т.е. помимо сказанного в стартовом сообщении теперь известно, что касательная лежит в плоскости, образуемой нормалью и заданной хордой (причём хорда оказалась не параллельна нормали), верно?
Если всё так и есть, тогда можно записать два условия:

• касательная перпендикулярна нормали к этой плоскости;
• касательная перпендикулярна нормали к кривой.

Нормаль к плоскости находите через векторное произведение образующих плоскость векторов. Скалярное произведение векторов, приравненное к косинусу прямого угла, реализует условие их перпендикулярности. Из вышеупомянутых двух условий получаем систему из двух уравнений, решением которой будет являться множество коллинеарных касательных векторов. Выбираете среди них, который понравится.

Спасибо за детальный ответ!!
Условия про плоскость не дано, это вывод, который я сделала лично из заданных условий. Но, возможно, он неверный и относится только к частному случаю.

скалярное произведение заданных векторов на каждый искомый, соответственный, должно равняться нулю + скалярное произведение каждого из искомых векторов, при втором векторе-сомножителе, равному векторному произведению заданных нормалей, тоже, следует приравнять нулю, плюс: Нужно записать формулу вычисления «скрученности» (по-другому: «торсионный вектор») для кривой третьего (с четырьмя свободными параметрами) порядка в, я так понял, трёхмерном пространстве, и придумать правила отбора, руководствуясь принципом параллельности последнего вектора (скрученности), и искомых векторов в каждой из заданных точек. Может что и выйдет?))).

А наличие плоскости, в которой должен лежать вектор касательной , не избавляет ли от необходимости расчёта скрученности?

Касательный вектор перпендикулярен обеим нормалям, поэтому нужно пользоваться векторным произведением

Извините, а можете уточнить, почему? Кривая третьего порядка, две произвольные точки на ней, кажется очевидным, что касательные тоже разные.

Если известна нормаль, получить координаты касательной можно просто из требования ортогональности нормали и касательной

Будет ли достаточным векторное умножение нормали на единичный вектор?

Наверное, Вы допустили неточность: «значения векторов нормали». Значение — это число, а в Вашем случае, вероятно, заданы векторы нормалей. Если так, подтвердите

Здравствуйте! Да, вы правы, подтверждаю! Заданы векторы нормалей, нужно найти векторы касательных.

Здравствуйте! Да, вы правы, подтверждаю! Заданы векторы нормалей, нужно найти векторы касательных.

Только по нормали касательную в трёхмерном случае построить нельзя.

Здравствуйте! Спасибо за ответ.

Вопрос из дифф. геометрии. Я ей почти не занимаюсь (никто не обращается) потому не могу сразу ответить. Если хотите нормально проработать этот раздел давайте позанимаемся.

Ответ находится в файле