На столе лежит несколько камней

На столе лежит несколько камней. Двое по очереди забирают со стола 1, 4 или 5 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сопоставьте начальному количеству камней игрока, который выиграет при этом количестве камней.

8
9 первый игрок
10
11
12 второй игрок
13

В левом нижнем углу доски 6×4 стоит ферзь. За один ход разрешается сдвинуть ферзя на любое количество клеток вверх, вправо или диагонали вверх-вправо. Двое по очереди делают ходы ферзём, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Заполните выигрышные и проигрышные позиции.

В левом нижнем углу доски 4×4 стоит ладья. За один ход разрешается сдвинуть ладью на любое количество клеток вверх или любое количество клеток вправо. Двое по очереди делают ходы ладьёй, проигрывает тот, кто поставит ладью в правую верхнюю клетку. Заполните выигрышные и проигрышные позиции.

В ряд выписаны, чередуясь, 100 двоек и 99 единиц: 2, 1, 2, 1, …, 1, 2. Двое игроков по очереди вписывают между цифрами знаки «+» и «×». Если после постановки всех 198 знаков значение полученного выражения будет нечётным, то выигрывает первый игрок, иначе выигрывает второй. Придумайте для одного из игроков выигрышную стратегию, основанную на разбиении на пары.

Кто выиграет при правильной игре?


первый


второй

Какое наименьшее значение может принимать полученное выражение, если выигрывающий игрок будет придерживаться своей стратегии?

Существует 20 событий на спорт в букмекерской конторе, в каждом событии по два варианта возможного исхода, победа 1 игрока и победа 2 игрока. Сколько существует вариантов пари, при условии что все 20 событий входят в экспресс(то есть все события должны одновременно сбыться) ?