Коллеги, помогите, тупняк напал. Задача для 7 класса, не могу решить.

Существует ли число, кратное 1999, и имеющее сумму цифр, равную 1999?

Разумеется, существует, например, такое: 11994 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 13993 (79+1 группа по 5 цифр).

Я бы предложил такое — рассмотрим такое n, что 10^n дает остаток 1 от деления на 1999 (например, годится фи от 1999, не хочу думать, простое ли это число). Тогда число 1+10^n+10^2n+...+10^1998n подходит.

М-да, Мартовский Заяц жжот! Спасибо, Влад, 1999 --- простое число. Я даже придумал разложение по степеням десятки, но вот потом идея, что это ж задача для 7 класса полностью плокировала у меня функцию Эйлера и прочие продвинутые идеи.

Ну хорошо, а такое?
У самого 1999 сумма цифр 28, у 3998 сумма цифр 29. Поскольку 1999=28*71+11=29*11+28*60б можно написать подряд 11 раз по 3998 и 60 раз по 1999.

Вот и вернулись к моему способу — просто пара 25 и 24 мне понравилась больше, чем 29 и 28. А своё число из #3 будете выписывать для 7-классника явным образом сами. )))

Ага! Вот это уже вполне себе доступный конструктив. В общем-то можно было и догадаться, но во мне, видимо, есть какое-то внутреннее предубеждение перед подобными констрктивами. Эх, придется теперь долго работать над собой. Пошел решать задачи для 1961, 1962, 1963, ...

Является ли точным квадратом число, десятичная запись которого состоит из 1999 троек?

1. Можно ли число 1999 представить в виде суммы квадратов трёх нечётных чисел ?
2. Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1
(у каждого из остальных ребро равно 1). Найдите объём исходного куба.

Бабушка испекла для 4 внуков три идеально круглых, одинаковой толщины пирога диаметром 18, 24 и 30 см. А затем ухитрилась их разрезать всего на 5 кусков, но каждый из внуков при этом получил равную долю? Как ей это удалось?

Какое количество натуральных чисел a обладает следующим свойством: «Наименьшее общее кратное чисел 16, 50 и a равняется 1200»?

Докажите, что существует число, кратное 1988, в десятичной записи которого участвуют только
нули и единицы.
(7-...кл.)

найдите все корни уровнения [x-1999]=2000