Какой способ надо выбрать для решения дифференциального уравнения y''+6y'+5y=tgx

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому в общем случае оно может быть решено методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения применим только в случае правой части определенного вида, к которой tg(x) не относится. Что есть 2) и 4) я не знаю, так что думаю ответ 1)

Доброй ночи) 4й пункт касается уравнений с разделяющимися переменными 1го порядка, у нас другой вид уравнения, указал ниже, отдельно.

Добрый вечер) Уравнение неоднородное с постоянными коэффициентами(ни о каком разделении переменных не может быть и речи). Постановка uv имела бы место, если было бы известно одно частное решение, его нет. Правая часть уравнения не представляется в спец виде(3й вариант отпадает), а значит нужно выбрать метод вариации произвольной постоянной.

Указать структуру общего решения дифференциального уравнения, не
находя коэффициентов его частных решений.

Найти решение задачи Коши
1) (2*lny – (lny)^2)dy=ydx-xdy y(4)=e^2
2) 3xy’+5y=(4x-5)*y^4 y(1)=1