Дополнение и определение

Четвероклассник принес тетрадь, в ней предложение: На синем небе зажглись звезды. На небе подчеркнуто как дополнение (пунктиром ) и как обстоятельство (пунктир и точка). Ну и вопрос — правильно ли?

Здравствуйте! Есть ли в этих предложениях косвенное дополнение?
1. Смотрело на меня круглое лицо Матрены.
2.По бедности Матрена не держала радио.
3. А избу бы не жалко, живите.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я опредлила роль союзного слова в предложении : Почерк у него был круглый, без нажимов, красивый, такой, каким пишут военные писари. Я считаю, что красивый — определение в неполном придаточном. Это правильно?

Пожалуйста, помогите определить, какой вид подчинительной связи в словосочетании ИДУ ДОМОЙ. Я думаю, что примыкание. А в словосочетании ИДУ В ТЕАТР какой вид? Управление? Но ведь вопрос один и тот же — ИДУ (КУДА?) ДОМОЙ, В ТЕАТР ? А при управлении зависимое слово должно стоять в косвенном падеже, т.е. быть дополнением. Или я что-то не так понимаю?