Доказательство

Докажите, что если прямые y = kx+m, y = mx+n и y = nx+k на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают. (С. Токарев

Предположим обратное. Тогда числа k, m, n попарно различны (иначе, скажем, если k = m, то n = m = k, иначе первые две прямые будут параллельны).
Абсцисса точки пересечения 1-й и 2-й прямых: x = (n — m) / (k — m);
2-й и 3-й: x = (k — n) / (m — n)
Но у трёх прямых должна быть общая точка, поэтому:
(n — m) / (k — m) = (k — n) / (m — n)

После преобразования:
k^2 + m^2 + n^2 = km + kn + mn.
Но данное равенство выполняется только при k = m = n (следует, например, из перестановочного неравенства).

Подставьте x=0 и x=1. Так вы найдёте точки пересечения с двумя параллельными прямыми. Далее, вы получите отношение (m-n)/(n-k) = (k+m — m-n) /(m+n-n-k) из подобных треугольников, например. Далее, замените n-k на x, а m-n на y и придите к выражению y^2+x^2+yx =0, а далее к 1/2 y^2 + 1/2 x^2 + 1/2 (x+y)^2 =0.