СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 011

Доказать равенство

1/(1*4)+1/(4*7)+⋯1/((3n-2)(3n+1))=n/(3n+1)
математика обучение     #1 ⇒   12 дек 2014 22:08   Увидели: 86 клиентов, 2 специалиста   Ответить
👍
0
👎 0
доказать равенство
  ⇐ #2 ⇒   12 дек 2014 22:09   Ответить
👍
+1
👎 1
Индукция по [m]n[/m].
1) База индукции. При [m]n=1[/m] имеем: [m]\frac{n}{(3n+1)} = \frac{1}{4}[/m].
2) Предположение индукции. Пусть равенство верно при всех [m]n\le N-1[/m].
3) Шаг индукции. Докажем справедливость при [m]n=N[/m].
Действительно:
[m]\sum_{n=1}^N \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\frac{1}{(3N-2)(3N+1)} = \frac{N-1}{3(N-1)+1}+\frac{1}{(3N-2)(3N+1)} = \frac{N}{(3N+1)}.[/m]
  ⇐ #3 ⇒   12 дек 2014 22:32   Ответить
👍
+1
👎 1
Или без индукции:

1/1*4 = 1/3*(1/1 — 1/4)
1/4*7 = 1/3*(1/4 — 1/7)
......................................
1/(3n-2) = 1/3*(1/(3n-2) — 1/(3n+1))

и сложить все равенства.
  ⇐ #4 ⇒   12 дек 2014 23:25   Ответить
👍
0
👎 0
Тут можно позанудствовать и сказать, что чтобы доказать, что после сложений равенств получится то, что нужно с необходимостью придется воспользоваться мат.индукцией :-)
  ⇐ #5 ⇒   13 дек 2014 01:20   Ответить
👍
+2
👎 2
Вовсе нет.
Схема индукции выглядит так:
((A(1) & (A(n) ⇒ (A(n+1)) ⇒ (для всех n)A(n)
В данном решении не используется ни первый член конъюнкции, ни второй.
  ⇐ #6 ⇒   14 дек 2014 19:19   Ответить
👍
0
👎 0
То, что Вы не написали всю схему индукции не означает, что ее здесь нет. Как Вы сможете строго доказать, что сложив n разностей все лишнее сократится?
  ⇐ #7 ⇒   14 дек 2014 20:48   Ответить
👍
+1
👎 1
Уровень строгости данного решения — стандартный и общепринятый.
  ⇐ #8 ⇒   14 дек 2014 22:47   Ответить
👍
0
👎 0
Понятно, что доказательство понятно и правильно, я утверждаю лишь, что оно опирается на принцип мат.индукции и без него его теряет смысл.

Аналогично утверждение:
«Для любого натурального n справедливо равенство n+n = 2*n»
невыводимо из аксиоматики Пеано без мат.индукции, хотя можно сказать, что тут и доказывать нечего.

Доказывая формулы типа для любого n что-то верно невозможно избавиться от мат.индукции, можно только сделать ее столь очевидной, что ее упоминание можно опустить и никто этого не заметит.
  ⇐ #9 ⇒   14 дек 2014 23:00   Ответить
👍
+1
👎 1
То есть, Ваше утверждение состояло в том, что аксиоматика Пеано включает схему аксиом индукции? ОК.
Правда, в школе арифметика изучается не как аксиоматическая теория.
  ⇐ #10 ⇒   14 дек 2014 23:20   Ответить
👍
0
👎 0
Я имел в виду, что если в рассуждении есть что-то типа верно для любого натурального числа n, то это рассуждение содержит в себе индукцию. Но упоминать ее --- это занудство.
  ⇐ #11 ⇒   14 дек 2014 23:37   Ответить
👍
+1
👎 1
В школьной арифметике не содержит.
Скажем, приведенный Вами пример n+n = 2*n это не теорема, которую надо доказывать по индукции, а определение умножения на 2.
  ⇐ #12   15 дек 2014 01:45   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 07

Математический анализ   7 ответов

Вывести формулу и доказать её методом математической индукции
1^2+4^2+...+(3n-2)^2
  07 окт 2018 21:00  
👍
0
👎 00

Проследить ряд монотонности   0 ответов

An= -3n+4/n+1
  16 май 2017 20:01  
👍
0
👎 03

Еще Часть С. Пожалуйста, помогите   3 ответа

(1) При каких значениях параметра а множество значений функции
y = (8x — 20) / (a — x^2) не содержит ни одного значения из отрезка [-4;-1]. В ответе указать наибольшее натуральное а, удовлетворяющее условию задачи.

(2) Найти все целые n, при которых справедливо равенство
(n^2 + 3n + 5) / (n + 2) = 1 + sqrt(6 — 2n)
  06 янв 2014 17:16  
👍
+5
👎 54

Свойство хорд 3 пересекающихся окружностей.   4 ответа

Очень похоже на теорему Менелая, но для окружностей.

Доказать, что для хорд, изображенных на рисунке, выполняется равенство.
[m]\frac ab\cdot\frac cd\cdot\frac ef=1[/m].
  13 мар 2012 01:51  
👍
0
👎 02

Помогите пожалуйста с теорией множеств!СРОЧНО!   2 ответа

!Пусть A, B,C — множ.Доказать равенство: А(в пересечении) (B\C)=(A(пересеч)В\В(объединение)С)\С(объединение)А
  24 окт 2011 15:20  
👍
0
👎 02

Мат анализ! Помогите!   2 ответа


Мат анализ!Пусть A, B,C — множ.Доказать равенство: А(в пересечении) (B\C)=(A(пересеч)В\В(объединение)С)\С(объединение)А
 
  18 окт 2011 14:53  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024