Законы Кеплера

К планете издалека движется с некой скоростью относительно нее космический зонд. При каком прицельном параметре зонд пролетит ближе всего к планете, не разбившись?

1. Сохраняется полная энергия.
2. Сохраняется момент импульса.
Отсюда можно получить уравнение
(d/R)^2 — (V2/V0)^2=1,
где: d — прицельное расстояние; R — радиус планеты; V0 — скорость тела на бесконечности;
V2 — 2-я космич. скорость данной планеты.
Я, к сожалению, забыл ключ для здешнего LaTeX`а.

[m]V^2_0/2=V^2_1/2-GM/R[/m]
[m]dV_0=RV_1[/m]
Учитывая, что [m]V^2_2/2=GM/R[/m], после подстановок получим
[m]\left(\frac{d}R\right)^2-\left(\frac{V_2}{V_0}\right)^2=1[/m]

Огромное спасибо!
Непонятны 2 вещи: почему потенциальная энергия берется со знаком минус (ведь скорость и сила гравитации сонаправлены), и почему импульс в начале равен d * V_0. По Гюйгенсу-Штейнеру?

1) Чем дальше зонд от планеты, тем больше его потенциальная энергия, не так ли? А потенциальная энергия на бесконечности считается равной нулю.
2) [m]dV_0[/m] — это не импульс, а момент импульса, делённый на массу. Момент импульса на бесконечности равен [m]mV_0\cdot d[/m], момент импульса в ближайшей к планете точке равен [m]mV_1\cdot R[/m], приравниваем и сокращаем массу

Спасибо, Александр Борисович.
Кстати, любопытно "пифагоровское соотношение" скоростей: [m]V_0^2+V_2^2=V_1^2[/m].
Очевидно, предельным случаем для "прицельного расстояния" является.. начальное расстояние от тела до центра планеты.
В этом случае происходит обращение спутника по эллипсу, и тогда [m]V_0[/m] и [m]V_1[/m] — скорости в апогее и в перигее.

Кстати, если считать, что начальное расстояние [m]R_0<\infty[/m], то у меня получилось уравнение
[m]\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^2-\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^2=1-\frac{R}{R_0}[/m]

Помогите пожалуйста решить 3 задачи!
1. Чему равна скорость пороховой ракеты массой 2кг после вылета из нее продуктов сгорания массой 200г со скоростью 400м/с.
2. До какой максимальной высоты долетит стрела, выпущенная из лука с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 10м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.
3. Спутник движется по круговой орбите на высоте 900км над Землей. Чему равна скорость спутника на орбите? Масса Земли 6*10 в 24 степени кг, радиус Земли 6400 км

Ийон, позёвывая и потягиваясь, выкарабкался на поверхность незнакомой Планеты.. Так, по первым ощущениям, не очень сильно отличается от родной Земли. Может ли Ийон оценить давление в центре Планеты, до того как взглянет на показания всех бортовых датчиков?

1.тело свободно падает из состояния покоя.какой путь оно пролетит за первые 5 сек?за первые 10 сек?какой скорости оно достигнет в конце 10-й сек?
2.испытатель парашюта пролетел,не раскрывая парашюта,980 м за 20 сек.определите на сколько секунд за счет сопротивления воздуха увеличилось время падения
3.за последние 0,5 секунд свободно падающее тело пролетает 30 метром.найдите скорость тела в момент приземления