Задача. Вычислить

Задача.
Вычислить: [m]\arctan (\tan \frac{23\pi }{8} )[/m].
Несмотря на то, что задача очень простая, правда с виду она может показаться даже сложной, задача хороша именно своей простотой.
Для успешного, а именно, быстрого и безошибочного, решения, желательно хорошо понимать, что такое обратная функция, и иметь хорошее представление о том, что такое область определения функции и область значений функции. Без хорошего понимания всего этого, решение задачи может вызвать серьезные трудности.

У этой задачи есть одно очень важное достоинство: задача позволяет говорить не строгим языком о сложных вещах так, чтобы это было понятно, даже если знания не твердые или не очень уверенные.

На всякий случай, уточню. Изложение не претендует не строгость и не предполагает, что на контрольной работе задача будет решаться именно таким способом.

Обратные функции.
Не углубляясь в тонкости, важно представлять следующее: обратная функция от функции равна аргументу функции, равно как функция от обратной функции равна аргументу обратной функции.
Таким образом, можно, не задумываясь, писать:
[m]accsin(sinx) = x[/m] и [m]sin(arcsinx)[/m]
Можно придумать и нечто более экзотическое:
[m]accsin(sin(a + b)) = x[/m] и [m]sin(arcsin(a + b))[/m]
Усложнять – можно до бесконечности.

Но, сделав это, нужно немедленно остановиться. И ни в коем случае не записывать полученное значение в ответ. Дело в том, что если второе равенство – заведомо верное (это утверждение – существенно неверно, но поправим это чуть позже), то о втором равенстве этого сказать нельзя: записав предполагаемый аргумент в ответ можно оказаться за пределами области значений функции.

Теперь можно поправить и неверное утверждение: Второе равенство верно только тогда, когда аргумент функции принадлежит области определения, другими словами, если выражение имеет смысл.

Осталось совсем чуть-чуть. Надо подравнять аргумент таким образом, чтобы он принадлежал области определения обратной функции. Сделать это можно: функция [m]y = \tan (x)[/m] периодичная, с периодом [m]\pi[/m]. Это значит, что можно безболезненно добавить к аргументу число [m]\pi[/m] нужное количество раз: [m]\tan (x + \pi) = \tan (x)[/m].

Итак, решаем.
[m]\arctan (\tan \frac{23\pi }{8} ) = \arctan (\tan( \frac{23\pi}{8} — 3 \pi)) =[/m]
[m]\arctan (\tan( \frac{23\pi}{8} -\frac{24\pi}{8})) = \arctan (\tan( — \frac{ \pi}{8} )) = — \frac{ \pi}{8}[/m]

И, последний, завершающий и, сожалению, достаточно неприятный штрих: чтобы уверенно и быстро найти, что к аргументу нужно добавить именно [m]3 \pi[/m], надо иметь неплохое представление об арифметике, и в частности, о действиях с дробями.

К сожалению, ошибки.
Нужно поправить.

Про обратные функции должно быть так:
Таким образом, можно, не задумываясь, писать:
[m]accsin(sinx) = x[/m] и [m]sin(arcsinx) = x[/m]
Можно придумать и нечто более экзотическое:
[m]accsin(sin(a + b)) = a + b[/m] и [m]sin(arcsin(a + b)) = a + b[/m]