Задача по аксиоматике плоскости Лобачевского

Здравствуйте, помогите, пожалуйста с Лобачевским!
Задача: Пользуясь только аксиоматикой плоскости Лобачевского (т.е. не используя модели), доказать, что две прямые, лежащие на плоскости Лобачевского и образующие внутренние односторонние углы с третьей прямой, в сумме равные двум прямым углам, имеют общий перпендикуляр.
Сколько я уже бьюсь над решением, в голову все никак не укладывается. Подходила к преподавателю в университете, который это задал. Особо ничего не поняла. Вроде как нужно начертить две параллельных прямых, секущую и от обеих точек пересечения секущей и прямой опустить перпендикуляр к противоположной параллельной прямой. И как-то дальше доказать. Пыталась через равенство образовавшихся прямоугольных треугольников по гипотенузе (общей стороне) и острому углу, но преподаватель сказал, что что-то не то. Я ничего не понимаю. Особенно не понимаю, как здесь внедрить именно Лобачевского. Помогите, пожалуйста! Зачетная неделя вот-вот закончится :(
Фото соображений прилагаю, первое нарисовал сам преподаватель, остальное — я, и оно преподавателя не устроило.

На вашей схеме не общий перпендикуляр, а два несовпадающих.
Суть аксиоматики Лобачевского в том, что на «плоскости» для любой «прямой» линии через любую точку вне этой прямой можно провести больше одной «прямой» линии, которая не имеет общих точек с первой прямой.
Из-за этого некоторые утверждения привычных нам теоремы евклидовой геометрии становятся неверными. В частности, сумма углов треугольника на такой «плоскости» не равна развёрнутому (т.е. сумме двух прямых углов), а всегда меньше его по величине.
Поэтому прежде всего надо установить, верно по-прежнему (или уже нет) вот что:

• сумма смежных углов равна ли удвоенному прямому?
• равны ли по величине вертикальные углы?

Если с этим проблем нет, то попытаемся найти расположение общего перпендикуляра задачи и проверить, не противоречит ли результат аксиомам.
Например, если мы разместим его слева или справа от секущего отрезка (как на схеме преподавателя), то получим четырёхугольник, сумма углов которого равна учетверённому прямому. Такого быть не может, значит с расположением не угадали.
Теперь попробуем провести его через одну из точек пересечения, как на вашей схеме. Получим треугольник с невозможной суммой углов – опять неудача.
Осталось расположить общий перпендикуляр так, чтобы он пересекал отрезок EF в некой внутренней точке – и рассмотреть треугольники.

Здравствуйте, Сергей Иванович! Большое спасибо, что откликнулись!
Подскажите, пожалуйста, как решить вот это тогда? Не понимаю, за что изначально зацепиться, сложно осознать другую геометрию, помимо Евклидовой :(

Софья, вы сначала осознайте правила русского языка и логики, лишь после будем думать об альтернативной геометрии. Что «вот это» решить? Совсем непонятно написано, что требуется. Подробно распишите.