Задача из олимпиады

На доске написано N простых чисел (не обязательно различных). Оказалось, что сумма любых трех тоже простое число. При каком наибольшем N это возможно?

4 числа быть могут — например, числа 7, 11, 13, 23.

Заметим, что не может быть трех чисел с одинаковым остатком при делении на 3, поскольку их сумма будет делиться на 3 и будет превосходить 3, что невозможно. В частности, не может быть трех одинаковых чисел.
Также заметим, что если среди чисел есть представители всех остатков при делении на 3, то их сумма также будет делиться на 3 и будет превосходить 3, то есть, не будет являться простой.

Тогда среди чисел могут быть представители не более двух различных остатков и представителей каждого остатка не больше двух. Итого, чисел не больше четырех.



UPD: есть и более простые примеры — например (3, 3, 5, 5)

4

При каком наибольшем kk можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет kk клеток белого прямоугольника 7×107×10 обязательно останется целиком белый квадрат 3×33×3 со сторонами, идущими по линиям сетки?

Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Галя добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое n не делилось. Например, если на экране было число 10, Галя могла добавить 7 и получить 17.

Галя повторила такую операцию пять раз, и на экране оказалось число 160. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться?
P.S у меня проблема в том что я не могу понять как решить или какую формулу использовать