Условная вероятность

На экзамене студенту задают 3 вопроса из 10 экзаменационных вопросов.
Студент выучил половину вопросов (5 из 10).
Какова вероятность, что студент ответит хотя бы на один вопрос?

Мой ход решения:

P(A) — вероятность, что студент ответит на один вопрос из 3-х.

P(A)=[(C_5)^1]*[(C_5)^2] / [(C_10)^3] = 5/12

P(В) — вероятность, что студент ответит на два вопроса из 3-х.

P(B)=[(C_5)^2]*[(C_5)^1] / [(C_10)^3] = 5/12

P(С) — вероятность, что студент ответит на три вопроса из 3-х заданных.

P(C)=[(C_5)^3]*[(C_5)^0] / [(C_10)^3] = 1/12

Таким образом, P(A) + P(B) + P(C) = 11/12

или же:

P(Ḡ) — вероятность, что студент не ответит на все три экзаменационных вопроса.

P(Ḡ) = [(C_5)^0]*[(C_5)^3] / [(C_10)^3] = 1/12

Тогда вероятность что студент ответит хотя бы на один вопрос P(G) = 1 — P(Ḡ) = 11/12.

А как решить данную задачу используя формулу условной вероятности?
P(ABC) = P(A)*P(B│A)*P(C│AB) = [(C_5)^1]*[(C_5)^2] / [(C_10)^3]
* [(C_4)^1]*[(C_5)^1] / [(C_10)^2] * [(C_3)^1]*[(C_5)^0] / [(C_8)^1] = ответ не сходится с (11/12)

Интуитивно понимаю, что в последнем случае перемножение некорректно, так как Р(АВС) — вероятность наступления трех событий одновременно ... к вопросу "хотя бы" не подходит.
Где у меня ошибка? Я хотела бы научиться решать подобные задачи с помощью условной вероятности.
Получается к подобного рода задачам условную вероятность применить нельзя ....

Пусть событие А — студент отвечает только на один вопрос, событие В — на два, событие С — на все три.

[m] P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) [/m]

эту формулу вы применяете в самом конце.

Пусть [m] A_1 [/m] — событие "отвечает на первый вопрос" (2ой и 3ий соответственно, лень писать). Тогда

[m] P(A)=P(A_1)+P(\bar A_1)\cdot P(A_2|\bar A_1)+P(\bar A_1)\cdot P(\bar A_2|\bar A_1)\cdot P(A_3|\bar A_1 \bar A_2) [/m]

И условные вероятности вы уже вычисляете, исходя из содержания задачи. Например, [m] P(A_2|\bar A_1)=\frac59 [/m], т.к. на первый вопрос он не ответил, значит, количество билетов уменьшилось, а количество известных ему билетов нет. И т.д..

Ваше последнее решение не особо понятно. Пересечение событий А, В и С (что и обозначается как АВС) есть пустое множество: студент не может ответить одновременно и ТОЛЬКО на один вопрос, ТОЛЬКО на два и на все три. Речь идет о сумме (объединении) несовместных событий, формула для вероятности будет такой: [m] P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) [/m]

Артем Сергеевич, здравствуйте!

До меня не доходит вот какой момент:

Почему-то когда тебя спрашивают в этой задаче посчитайте вероятность, что студент ответил на первый вопрос, потом на второй и т.д., то мы исходим из того, что всего три вопроса было задано студенту на экзамене и якобы если этот студент ответил на первый вопрос корректно, то на оставшиеся два вопроса будут даны неправильные ответы.

А если задать вопрос: какова вероятность, что студент не сможет дать правильный ответ на первый вопрос, мы исходим уже не от трех экзаменационных вопросов, на которые студент обязан дать ответ, а от общего числа всех имеющихся экзаменационных вопросов. В нашем случае их 10.

То есть: какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос?
Ответ выглядит так:

([(C_5)^1]*[(C_5)^2]) / [(C_10)^3]

Какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос некорректно?
Ответ выглядит так:

(5/10)

Я понимаю, что некорректно было бы написать (5/3).

Почему неправильно рассуждать так: Якобы считаем вероятность, что студент неправильно даст ответ на первый вопрос, а на оставшиеся два из трех он ответит то положительно, то отрицательно (т.е. всевозможные размещения)
5*[(A_9)^2] .....

Получается отвечая на вопрос "Какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос некорректно?" меня не должно интересовать, что студенту нужно ответить лишь на 3 экзаменационных вопроса из 10.

В общем такая каша у меня в голове. Вроде понимаю, почему (5/10) и в тоже время как-то понимаю поверхностно что ли ....

Если я правильно понял ваше недопонимание, то дело тут вот в чем.

В ситуации равновероятных исходов вероятность появления некоторого события есть отношение количества благоприятных исходов к количеству исходов вообще.

Очевидно, вынуть любой билет из 10 — исходы равновероятные.

Всего этих исходов 10 (если речь идет о первом вопросе), т.к. студент может вытянуть любой из 10 вопросов. Благоприятных же 5. Поэтому

[m] P(A_1)=\frac5{10} [/m]
[m] P(\bar A_1)=\frac5{10} [/m]

Вот с другими вопросами сложнее, потому что количество БЛАГОПРИЯТНЫХ исходов будет зависеть от того, ОТВЕТИЛ ли (то есть попались ли ему уже) студент на первый (и в дальнейшем второй) вопросы. Соответственно, там потребуется формула полной вероятности. Но принцип будет тот же.

Можно решать задачу через вероятность противоположного события.
Последнее заключается в том, что студент не знает ответ ни на один из предложенных вопросов.

Как справедливо заметил Багманов Андрей Тамерланович, проще всего эту задачу решить так:
Для трёх попыток последовательных ответов сосчитаем вероятность ни разу не ответить верно. Для первой это 5/10, для второй — 4/9, для третьей — 3/8.
5, 4, и 3 — остающиеся количества невыученных вопросов,
10, 9 и 8 — остающиеся количества всех вопросов перед попытками 1, 2 и 3.
Искомая вероятность (ответ) = 1 — 3*4*5/(10*9*8) = 11/12.

А условную вероятность здесь можно расписывать так:
Ответ = вероятность правильно ответить на первый вопрос + вероятность правильно ответить на второй вопрос при условии неверного ответа на первый + вероятность правильно ответить на третий вопрос при условии неверных ответов на первый и на второй.