Решить сравнение

Решить сравнение х^3= -1(mod757)

Чтобы не было вопросов, сразу заметим, что x взаимно просто с 757 (простое число).
[m]x^{3} \equiv -1 \pmod {757} \Rightarrow x^3 + 1 \equiv 0 \pmod {757} \Rightarrow \\ \Rightarrow (x + 1)\cdot(x^2 — x +1) \equiv 0 \pmod {757} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x + 1 \equiv 0 \pmod {757} , \\ x^2 — x +1 \equiv 0 \pmod {757}. \end{array}\right.[/m]
Получили совокупность: первое уравнение сразу раскрываем, а из левой части второго вычитаем 757 (см. св-ва сравнений):
[m]x = -1 + 757n, n \in \mathbb Z. \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1) \\ x^2 — x — 756 \equiv 0 \pmod {757} \Rightarrow (x-28)\cdot(x+27) \equiv 0 \pmod {757} \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x — 28 \equiv 0 \pmod {757}, \\ x+27 \equiv 0 \pmod {757}. \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 28 + 757n, n \in \mathbb Z, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2) \\ x = -27 + 757n, n \in \mathbb Z. \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3) \end{array}\right.[/m]

Большое спасибо, Вы очень помогли , делаю задание. Еще можно: найти х, удовлетворяющее сравнениям
x^3-1=0(mod9)
x^3-1=0(mod271)
x^3+1=0(mod7
x^3+1=0(mod13)
x^3+1=0(mod29)

Нельзя 😊
Дальше самостоятельно, по аналогии 😉
Я всё предельно разжевал ))

Почему х=28+756n, а не x=28+757n ???

Вот школьное решение: записываем очевидное соотношение
x^2+x+1=k*271,k=1,2, ... . Чтобы это уравнение имело натуральное решение, дискриминант должен быть полным квадратом, пробуем, находим к=4, всё.

Только не 4, а три(3).

А как решить сравнение X^2+x+1=(mod271)

Раньше число 576 раскладывалось на 28*27, потому квадратное уравнение решалось. А число 270 так не раскладывается и квадратное уравнение не решается. Как быть?

Еще один(а может просто один), кто хочет , чтобы ему решили олимпиадную задачу:
При каком n выполняется
Конечно, если решение данного сравнения решает олимпиадную задачу, то он молодец.

x(x+8)(x+16)(x+24)=0(mod1000)

[m]n^3-n=k^2-k[/m]
Наткнулся я на красивое сравнение чисел
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}[/m] и 5.

И придумал я аналогичное сравнение
[m]\sqrt{210+\sqrt{210+...+\sqrt{210}}}+\sqrt[3]{210+\sqrt[3]{210+...\sqrt[3]{210}}}[/m] и 21.

А вот обнаружить еще или доказать их отсутствие у меня пока не выходит. А все потому, что уперся я в уравнение в натуральных числах в заглавии темы, и решить его не получается. Может быть, кто-то сможет придумать что-то дельное. :-)