👍 0 👎 |
Прошу помощи в решении задачиВычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах
yˆ6=аˆ2*( xˆ2+ yˆ2) *( 3yˆ2 — xˆ2)
математика обучение
Трофимова Раиса Васильевна
|
👍 +1 👎 |
Делаем ожидаемую замену:
[m]x=r\cos(\varphi ),\ y=r\sin(\varphi ).[/m] Подставляя ее в [m]y^6=a^2(x^2+y^2)(3y^2-x^2)[/m] и выражая [m]r[/m] получаем: [m]r=\sqrt{\frac{a^2(4\sin^2(\varphi)-1)}{\sin^6(\varphi )}}.[/m] Эта штука похожа в полярных координатах на два сердечка, возможно, кто-то послал Вам валентинку… Решая элементарное неравенство: [m]4\sin^2(x)-1\ge0[/m] с точностью до периода в [m]\pi[/m] находим, что [m]\varphi \in\Big[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\Big][/m], значит, искомая площадь равна: [m]S=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\!\!\varphi \int\limits_{0}^{g(\varphi )}\!\!r\ \!dr,[/m] где [m]g(\varphi) = \sqrt{\frac{a^2(4\sin^2(\varphi)-1)}{\sin^6(\varphi )}}.[/m] Далее следуют элементарные преобразования: [m]S=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\!\!d\varphi \int\limits_{0}^{g(\varphi )}\!\!r\ \!dr=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \frac{r^2}{2}\bigg|_0^{g(\varphi)}\!\!d\varphi = a^2\!\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\frac{4\sin^2(\varphi)-1}{\sin^6(\varphi )}d\varphi.[/m] Последний интеграл, как рациональная функция от тригонометрических функций, считается, но руками это делать грустно, поэтому я прибегнул к помощи машины; итого имеем: [m]S= a^2\!\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\frac{4\sin^2(\varphi)-1}{\sin^6(\varphi )}d\varphi = \frac{32a^2\sqrt{3}}{5}.[/m] |
👍 +1 👎 |
Спасибо Вам огромное! Ни за что бы сама не справилась.
|
👍 +1 👎 |
Полярный график:
![]() |
👍 0 👎 |
Я еще эту никак не могу сделать..(Трудности с пониманием, что такое z=4*x^(1/2, не знаю, как это построить, помогите, пожалуйста)
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xoy z=0, z=4*x^(1/2), x=0, x+y=4 |
👍 +1 👎 |
Что-то тут не так, может в задаче z=0, z=4*x^(1/2), y=0, x+y=4?
z=4*x^(1/2) --- это что-то примерно так выглядит: ![]() |
👍 0 👎 |
Спасибо огромное!
|
👍 0 👎 |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
|
👍 0 👎 |
Никак не могу привести уравнение гиперболы к стандартному виду
|
👍 0 👎 |
Помогите с задачей на кривые второго порядка
|
👍 +1 👎 |
Площадь фигуры
|
👍 +2 👎 |
Первообразная сложной функции
|
👍 0 👎 |
Найти площадь фигуры
|