Прошу помощи в решении задачи

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах
yˆ6=аˆ2*( xˆ2+ yˆ2) *( 3yˆ2 — xˆ2)

Делаем ожидаемую замену:

[m]x=r\cos(\varphi ),\ y=r\sin(\varphi ).[/m]

Подставляя ее в [m]y^6=a^2(x^2+y^2)(3y^2-x^2)[/m] и выражая [m]r[/m] получаем:

[m]r=\sqrt{\frac{a^2(4\sin^2(\varphi)-1)}{\sin^6(\varphi )}}.[/m]

Эта штука похожа в полярных координатах на два сердечка, возможно, кто-то послал Вам валентинку…
Решая элементарное неравенство: [m]4\sin^2(x)-1\ge0[/m] с точностью до периода в [m]\pi[/m] находим, что [m]\varphi \in\Big[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\Big][/m], значит, искомая площадь равна:

[m]S=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\!\!\varphi \int\limits_{0}^{g(\varphi )}\!\!r\ \!dr,[/m]
где [m]g(\varphi) = \sqrt{\frac{a^2(4\sin^2(\varphi)-1)}{\sin^6(\varphi )}}.[/m]

Далее следуют элементарные преобразования:

[m]S=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\!\!d\varphi \int\limits_{0}^{g(\varphi )}\!\!r\ \!dr=2\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \frac{r^2}{2}\bigg|_0^{g(\varphi)}\!\!d\varphi = a^2\!\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\frac{4\sin^2(\varphi)-1}{\sin^6(\varphi )}d\varphi.[/m]

Последний интеграл, как рациональная функция от тригонометрических функций, считается, но руками это делать грустно, поэтому я прибегнул к помощи машины; итого имеем:

[m]S= a^2\!\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\frac{4\sin^2(\varphi)-1}{\sin^6(\varphi )}d\varphi = \frac{32a^2\sqrt{3}}{5}.[/m]

Спасибо Вам огромное! Ни за что бы сама не справилась.

Полярный график:

Я еще эту никак не могу сделать..(Трудности с пониманием, что такое z=4*x^(1/2, не знаю, как это построить, помогите, пожалуйста)



Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xoy
z=0, z=4*x^(1/2), x=0, x+y=4

Что-то тут не так, может в задаче z=0, z=4*x^(1/2), y=0, x+y=4?
z=4*x^(1/2) --- это что-то примерно так выглядит:

Спасибо огромное!

Доброго всем времени.
Помогите найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вот, что дано в задаче:
xy=7
x=7
y=7
x=0
y=0

Знаю, что на графике должны получится две части искомой площади: криволинейная трапеция, ограниченная гиперболой и прямоугольник.
Не понимаю, чем и как они ограничиваются. Помогите, пожалуйста.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, переходя к полярным, обобщенным полярным и другим криволинейным координатам

(sqrt(x/a)+sqrt(y/b))^12 = xy/c^2

В полярных координатах получается очень громоздко. Какую тут луче сделать замену?

Подскажите, каким способом надо искать первообразную функции

cos^2(x+pi/6)

Я преобразовал квадрат косинуса по формуле двойного угла в сумму:

1/2*(cos(2*x+pi/3)+1)

но все равно не понимаю, как искать первообразную.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y^2=2x+4, х = 0