Пример на минимальную сигма-алгебру

На сайте (https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html) приводится пример 13:

Обозначила (для себя) за A=[0, 1] и за B={0}.

Множество И={R; ∅; [0, 1]; {0}} не является сигма-алгеброй, так как, например, дополнение к [0, 1]=R∖[0, 1]=(−∞, 0)∪(1, +∞) ∉ И и дополнение к {0}=R∖{0}=(−∞, 0)∪(0, +∞) ∉ И.

Самый маленький набор множеств, содержащий И и являющийся сигма-алгеброй (минимальной сигма-алгеброй), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из И:

F={R; ∅; [0, 1]; {0}; (−∞,0)∪(1,+∞); (−∞, 0)∪(0, +∞); (0, 1]; (−∞, 0]∪(1, +∞)}.

Вопрос: Зачем добавили вот эти последние два элемента: (0, 1] и (−∞, 0]∪(1, +∞) в F?

Разве без них F не является минимальной сигма-алгеброй?

F={R; ∅; [0, 1]; {0}; (−∞, 0)∪(1, +∞); (−∞, 0)∪(0, +∞)} — здесь и объединение A∪B присутствует и пересечение A∩B также имеется в наличие.

A∪B=[0,1]
A∩B={0}.

Заранее спасибо за помощь

Элемент (0, 1] добавили, так как это разность элементов A=[0, 1] и B={0}.
Другими словами, (0, 1] — это пересечение элемента [0, 1]
и дополнения (относительно R) к элементу B={0}.
Сигма-алгебра должна содержать пересечение и объединение не только
элементов A и B, но любых своих элементов (свойство замкнутости).

Спасибо за ответ Юрий Анатольевич.
Но в голове до сих пор нет точного понимания....
Хорошо, мы добавим, помимо операций объединения и пересечения, также и операцию дополнения, как требует от нас определение сигма-алгебры.

Тогда F будет выглядеть вот так:

Тогда F={R; ∅; [0, 1]; {0}; (−∞, 0)∪(1, +∞); (−∞, 0)∪(0, +∞); (0, 1]}, где A∖B=A∩B(c верхней чертой)=(0, 1].

Но зачем они еще добавили Ā∪B=(−∞, 0]∪(1, +∞), ведь следуя такой же логике, я могу добавить и A∪B(c верхней чертой)=(−∞, 0)∪[0, +∞)?

Вопрос: какое количество элементов является максимальным (грубо, где граница), чтобы я могла записать, что теперь F соответствует минимальной сигма-алгебре...

Пример запутанный, в глазах рябит от круглых и квадратных скобок,
да ещё и знаков объединения, запятых и точек с запятыми.
Чтобы прояснить ситуацию, я введу несколько иные обозначения, чем у Вас:
C = (-беск., 0) U (1, +беск.),
B = {0} — это как у Вас,
D = (0, 1].
Три множества C, B, D попарно не пересекаются, а их объединение
(в таких случаях говорят: дизъюнктное объединение) —
это вся вещественная прямая R.
Вполне логично, что минимальная сигма-алгебра состоит из 8 элементов.
Дело в том, что 8=2^3.
Каждый элемент минимальной сигма-алгебры — это объединение каких-то
из множеств C, B, D (либо всех трёх, либо каких-то двух, либо одного,
либо ни одного).
И никакое из таких объединений не пропущено.

Ваш вопрос я теперь переформулирую так:
зачем они еще добавили C U B ?
Ответ: если в сигма-алгебру входит C и входит B, то обязано входить
и их объединение.

Второй вопрос:
ведь следуя такой же логике, я могу добавить и (C U B U D) ?
Ответ: да, это множество уже добавлено, это вся вещественная прямая.

До меня дошло :-), после того, как я уже разместила свой второй вопрос, а удалить здесь ничего не получается.
Еще раз Большое Спасибо!

Сейчас разбираю, что такое вероятностное пространство и наткнулась на следующую запись:
∞
если A1⊇A2⊇A3⊇ .... и ⋂ An =∅, то ........
i=1

Вопрос: если множество А4 является подмножеством А3, множество А3 является подмножеством А2, множество А2 является подмножеством А1, т.е. каждое вложено в "предыдущее" множество, как так может получится, что их пересечение пусто, там хотя бы множество в виде ТОЧКИ останется же .....

Буду крайне признательна, если Вы еще раз поможете прояснить мое недопонимание, Юрий Анатольевич.

Я уже разобралась, это был мой глупый третий вопрос :-)))