Не получается задача по теории вероятностей

Время падения камня t с горы измерено приближенно, причем t (9;11) . Рассматривая время как случайную величину t равномерно распределенную на интервале (9,11), найти математическое ожидание и дисперсию высоты горы h (считать падение камня равноускоренным: h=gt^2/2, g –const.)

Объясните, пожалуйста, ваши сложности? Вы знаете как записать математическое ожидание от функции от случайной величины, зная ее плотность?

Меня смущает получившийся ответ, особенно величина дисперсии
М(х)=9898
D(x)=9,66*10^10

Приведите расчетные формулы.
Ответы неправильные.

М(х)= интеграл с 9 по 11 от t*h dt = 9898
D (x) = интеграл с 9 по 11 от (t — 9898)^2*h dt = 9,66*10^10

А, то если бы у вас матожидание t искалось бы, то вы бы считали [m]\int_9^{11} t^2 dt=300[/m]?
Математическое ожидание величины с плотностью [m]p_X(x)[/m] есть [m]\int\limits_{R} x p_X (x) dx[/m]
В случае если X — величина с плотностью, для Y=f(X) можно записать другое выражение:
[m]\int\limits_{R} f(x) p_X(x) dx[/m]

Спасибо! А для дисперсии как?

Для дисперсии надо посчитать матожидание [m]h^2(t)[/m]
[m]p_X(x)[/m] — плотность, в нашем случае равномерная плотность на [9,11]

Понятно...Спасибо огромное!

а в Вашем выражении р (х) чему равняется?

Наблюдаю за обсуждением этой задачи с изумлением. Похоже, что ни Раиса Владимировна, ни Александр Викторович не прочли условие как следует. Поскольку дискуссия подошла к концу, выложу схему своего решения.

Это задача на фуннкцию случайной величины и, стало быть, на применение формулы :

f(h)=f(t(h) |t`(h)|

В нашем случае

f(t)=1/2 при 9<=t<=11, в альтернативе 0 ;
h(t)=gt^2/2; h(9)=81g/2;h(11)=121g/2 ;
t(h)=(2h/g)^(1/2) ;
t`(h)=(2gh)^(-1/2).

Поэтому

f(h)= 1/(2(2gh)^(1/2)) ; 81g/2<=h<=121g/2 ; 0 в альтернативе.

А вот теперь для функции f(h) следует использовать подсказки ##6.9. Если возникнут проблемы, напишите. Я дам вторую часть решения.

Игорь Владимирович, с изумлением читаю ваше сообщение. Похоже вы не прочли мои подсказки как следует.
Чтобы посчитать математическое ожидание от функции случайной величины совсем не обязательно делать замену переменных в плотности, о чем я явно пишу в сообщении #6
Для матожидания справедлива формула
[m]Eh(X) = \int_R h(x) p_X(x) dx,[/m]
вычисление плотности случайной величины [m]h(t)[/m] здесь совершенно излишне.
Этот, казалось бы запредельно стандартный прием не должен вызывать затруднения у человека, репетирующего по статистике, эконометрике и теории вероятностей. :confused:

У меня получается вообще большая величина матожидания — порядка 40 миллионов

Хорошо, давайте матожидание распишу.
[m]h=gt^2/2,\ p_t (x) = I_{(9,11)} (x)/2,[/m]
где [m]I_A(x)[/m] — характеристическая функция множества, то есть 1, если х из множества A, 0 иначе.
[m]Eh(t) = \int_R gx^2/2 I_{(9,11)} (x)/2 dx = g/4 \int_9^{11} x^2 dx = g(11^3-9^3)/12=491,63[/m]
Это в метрах, если, конечно, время было в секундах дано.
Для дисперсии считаете матожидание [m]h^2[/m] и вычитаете из него квадрат уже посчитанного матожидания.

Огромнейшее Вам спасибо!

У меня получается вообще большая величина матожидания — порядка 40 миллионов