Найти область значения функции

y=√(1-x^2)
дана область определения функции [-1,1], нужно найти область значения.
преподаватель объяснил так.
-1<=x<=1
возводим в квадрат, получается
0<=x^2<=1
я не понимаю почему слева получился ноль, переспрашивала у учителя несколько раз, все равно не поняла её объяснений. объясните мне, пожалуйста, почему так

Квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше нуля или равен ему.

-1<=x<=1 возводим в квадрат, должно быть
(-1)^2<=х^2<=1^2
1<=х^2<=1
путаница тогда получается у меня. объясните, пожалуйста подробней, как в квадрат возвести это неравенство

Подставьте -1 в формулу, получится пример, посчитайте по действиям.

Число х^2 — ВСЕГДА неотрицательное, то есть находится в границах от 0 до плюс бесконечности. Так как левая граница области определения изначально была отрицательной, то при возведении в квадрат она становится 0.

спасибо. почему тогда в другой функции, когда нахожу область значение получается слева нуль? -8<=х<=1
0<=х^2<=64

Обобщая ранее сказанное, конструируем методику:
1. Двойное неравенство с числами разных знаков разбиваем на два, в одном из которых переменная может принимать только отрицательные числовые значения, в другом – только неотрицательные:
–8≤x<0 или 0≤x≤1.
2. Второе возводим в квадрат с сохранением знаков неравенства, первое – с изменением на противоположные: 64≥x²>0 или 0≤x²≤1.
3. Выполняем логическую операцию 'или', соответствующую объединению множеств решений этих неравенств: получаем в итоге 0≤x²≤64.

Добрый вечер! Рассмотрите функцию под корнем:1-x^2. Она возрастает при -1<=x<=0 и убывает при 0<=x<=1, т.е. достигает максимума при х=0. Подставьте в ф-ию y=√(1-x^2) значение х=0. у(0)=1 — это есть наибольшее значение функции. Наименьшее значение достигается при х=-1 или х=1 и оно =0. Т. о. 0<=у<=1.

когда мы возводим в квадрат неравенство, немного по другому смотреть надо, мы же теряем знак, к примеру -5<3 все верно, но если мы возведем в квадрат станет, 25<9 и уже не правильно, поэтому квадрат по определению всегда больше или равен нулю, не может меньше, а максимальное значение надо смотреть по ситуации, тут что 1, что -1 дают в квадрате всегда 1

Добрый вечер. двойное неравенство , содержащее отрицательное число не возводится в квадрат. Можно графически представить параболу, у равный х в квадрате, на промежутке от -1 до 1 значения функции от 0 до 1. С другой стороны данное двойное неравенство можно интерпретировать как х по модулю меньше 1. обе стороны неравенства неотрицательные, можно возвести в квадрат( х по модулю в квадрате равен х в квадрате) х в квадрате меньше или равен 1 Наименьшее значение 0. , поэтому промежуток от нуля до 1.

Екатерина, в общей ситуации возводить неравенство в квадрат «слегка незаконно» : например, -2 < -1, но возведя Вашим способом в квадрат, получите 4 < 1 . Возводить неравенство в квадрат можно, например, если обе части положительны : y = x^2 = монотонная функция, и из 0 < a < b получите верное неравенство 0 < a^2 < b^2. Если же a < b < 0, то лучше переписать это в виде 0 < (-b) < (-a) и пользоваться тут возможностью возвести в квадрат «положительное» неравенство. В общем, надо разбить область определения у Вас на 2 части ( [-1; 0] и [0;1]) и найти 2 области значений для каждой из них — а потом взять их объединение и получить ответ (спойлер: в Вашем случае обе эти области значений окажутся одинаковы и равны [0; 1] )