Докажите, что юношей живёт не меньше, чем девушек

В Тридевятом царстве живут несколько юношей и девушек, некоторые из которых знакомы, а некоторые − нет. Известно, что у каждого юноши все знакомые с ним девушки знакомы между собой, а у каждой девушки среди её знакомых юношей больше, чем девушек. Докажите, что в Тридевятом царстве юношей живёт не меньше, чем девушек.

Добрый день!

План решения подобных задач примерно такой.

Попытайтесь придумать ситуацию:

а) В которой выполняются все условия задачи.
Кто с кем знаком удобнее изобразить в виде графа.

б) В которой выполняются все условия задачи и юношей меньше.
После n-го количества попыток либо Вы опровергните задачу, либо появятся идеи, почему так сделать не получается.

После этого уже пробуйте придумать рассуждение, которое доказывает утверждение.

P.S. Если застряли на каком-то моменте — опишите, что из перечисленного уже сделали и каков был ход мысли.

Спасибо

Здравствуйте, Константин Олегович! Ход моих мыслей следующий.
Допустим, что юношей меньше девушек. По условию, у девушек среди ее знакомых юношей больше девушек.
Поэтому, каждая девушка знакома как минимум с одним парнем.
Если юношей меньше, чем девушек, значит несколько девушек имеют как минимум одного общего знакомого. Тогда эти девушки знакомы между собой(по условию у каждого юноши все знакомые с ним девушки знакомы между собой).
Но знакомых парней у девушек должно быть больше. Следовательно добавляется знакомство с юношей.
Когда все девушки будут знакомы между собой и парнями (которых как мы предположили меньше девушек) наступит противоречие с условием, что знакомых парней у девушек больше. Поэтому должен добавиться новый (-ые) юноша (-и). А значит для выполнения всех условий юношей должно быть не меньше девушек. А вот что дальше?

Да, в целом, проблему Вы уловили правильно:

• при дефиците числа юношей кому-то из них приходится общаться с большИм числом девушек
• по условию этим девушкам приходится знакомиться друг с другом
• эти знакомства между девушками, в свою очередь, провоцируют у них новый дефицит общения с юношами.

Но в таком виде рассуждение не строгое — по хорошему, нужно разбирать все возможные комбинации, кто с кем знаком, а это очень муторно.
Часто рассуждение становится более простым и строгим, когда переходит в «количественную плоскость».

В данном случае, раз проблема в том, что спрос большого числа девушек не может удовлетворить предложение от малого числа юношей, попробуйте оценить этот эффект количественно.
Т.е. посчитайте знакомства Д-Ю отдельно со стороны девушек, отдельно со стороны юношей.

Спасибо. Все понял

Здравствуйте, я попыталась посчитать знакомства д-ю относительно девушек и юношей отдельно, но не к чему не пришла. Можно подсказку?

В Тридевятом царстве живут несколько юношей и девушек, некоторые из которых знакомы, а некоторые − нет. Известно, что у каждого юноши все знакомые с ним девушки знакомы между собой, а у каждой девушки среди её знакомых юношей больше, чем девушек. Докажите, что в Тридевятом царстве юношей живёт не меньше, чем девушек.

Компания состоит из трех парней и трех девушек. Каждого из юношей любит одна из трех девушек и каждую девушку любит один из парней; но одна из девушек с грустью заметила, что в их компании никто не любим тем, кого любит сам. Так ли уж невероятно это печальное обстоятельство, если считать, что и парни и девушки выбирают свою симпатию более или менее случайно, наугад?