Доказательство теоремы

Не получается доказать теорему:

Предположим f: X→Y
f имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда f биективна.

Мое доказательство:

Во-первых, мы должны показать, что если f имеет обратную функцию, тогда f биективна.
Во-вторых, мы должны показать, что если f — биекция, то f имеет обратную функцию.

Первое направление:

Пусть g: Y→X является обратной функцией для f.
Следовательно, (∀y∈Y) g(y) ∈X ⇒ g(y)=x.
Из f: X→Y вытекает, что (∀x∈X) f(x) ∈Y ⇒ f(x)=f(g(y))=y.
Если f(x1)=f(x2), то мы можем записать, что g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒ x1=x2, т.е.
f(x1)=f(x2) → x1=x2, такая функция f является инъективной.

Дальше не могу доказать сюръективность ...., чтобы потом сделать вывод, что функция f биективна.

Помогите закончить доказательство "первого направления".

Второе направление:

Предположим, что функция f биективна. Следовательно, она также сюръективна и инъективна, т.е. (∀y∈Y) (∃!x ∈ X) [f(x)=y].
Обозначим g(y)=x,

Второе направление доказать у меня также не получается ....

Заранее Всем спасибо за помощь!

Напишите, плиз, без кванторов, чтО означает, по-Вашему, запись (∀y∈Y) g(y) ∈X ⇒ g(y)=x. Если это еще актуально. )

Для любого значения (у) из множества (Y), значение g(y) принадлежит множеству (X). Следовательно найдется такой элемент (x) из множества (X), который будет равен x=g(y).

Эх, забыл про Вас. (( С этого форума не приходят уведомления об ответах!

Это высказывание по Вашим правилам пишется так: (∀y∈Y) g(y) ∈X ⇒ (∃x ∈ X) g(y)=x

т.е. тройка множеств (f, X, Y) называется функцией, если:
1) f ⊆ X×Y;
2) если x ∈ X, то существует y ∈ Y такой, что f(x)=y
3) если (x, y1) ∈ f и (x, y2) ∈ f, тогда y1=y2
т.е. в f нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами.

Пусть не сюръективна, тогда существует точка в образе, в которую ничего не переходит. Но, в силу обратного отображения, у этой точки должен быть прообраз — фейл.

В другую сторону теорема доказывается построением отображения руками. Посмотрите первый том Виноградова Мат анализ или курс мат анализа. Там этот док хорошо написан