Задача по физике, термодинамика

Термометр подержали над огнем. После того, как горелку выключили, показания термометра упали от 100 до 99 градусов за 2 секунды. За сколько времени показания термометра уменьшатся от 69 до 59 градусов? Считайте, что количество теплоты, ежесекундно передаваемое телом окружающей среде, прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой. Температура в комнате 20 градусов.

Условие "Количество теплоты, ежесекундно передаваемое телом окружающей среде, прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой" переведите на математический язык — составьте дифференциальное уравнение. Слева -производная, справа= разность температур с коэффициентом.

— температура в комнате, [m]t[/m] — температура термометра в момент времени [m]\tau[/m]. При [m]\tau=0[/m] термометр имеет температуру [m]t_0=100^\circ\mathrm C[/m].

За малое время [m]d\tau[/m] термометр отдаст количество теплоты [m]dQ=k(t-\theta)d\tau[/m], где [m]k[/m] — неизвестный коэффициент пропорциональности. Это же количество теплоты равно: [m]dQ=-Cdt[/m], где [m]C[/m] — теплоёмкость термометра (также неизвестная).

Получаем: [m]k(t-\theta)d\tau=-Cdt[/m], или

[m]\frac{dt}{t-\theta}=-\alpha d\tau[/m],

где [m]\alpha=-k/C[/m] — новый неизвестный коэффициент.

Интегрируя с учётом начальных условий (это сделайте самостоятельно), приходим к зависимости текущей температуры термометра от времени:

[m]t=\theta+(t_0-\theta)e^{-\alpha\tau}[/m].

Теперь надо найти [m]\alpha[/m]. Для этого мы знаем, что спустя время [m]\tau_1=2\text{ c}[/m] температура стала [m]t_1=99^\circ\mathrm C[/m]. Имеем:

[m]t_1=\theta+(t_0-\theta)e^{-\alpha\tau_1}[/m],

[m]e^{-\alpha\tau_1}=\frac{t_1-\theta}{t_0-\theta}[/m].

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, можно воспользоваться тем, что дробь справа лишь немного меньше единицы, и заменить приближённо [m]e^{-\alpha\tau_1}[/m] на [m]1-\alpha\tau_1[/m]. Тогда получим:

[m]\alpha=\frac{t_0-t_1}{t_0-\theta}\frac{1}{\tau_1}[/m],

и, соответственно,

[m]t=\theta+(t_0-\theta)\exp\left(-\frac{t_0-t_1}{t_0-\theta}\frac{\tau}{\tau_1}\right)[/m].

Отсюда выражаем [m]\tau[/m], находим время [m]\tau_2[/m] остывания до температуры [m]t_2=69^\circ\mathrm C[/m] и время [m]\tau_3[/m] остывания до температуры [m]t_3=59^\circ\mathrm C[/m], после чего находим искомое время как разность: [m]\Delta\tau=\tau_3-\tau_2[/m]. Сделайте это самостоятельно и получите формулу:

[m]\Delta\tau=\tau_1\frac{t_0-\theta}{t_0-t_1}\ln\frac{t_2-\theta}{t_3-\theta}[/m].

Опечатка: разумеется, "...[m]\alpha=k/C[/m] — новый неизвестный коэффициент".

А зачем Вы полностью решаете задачу за ученика?

Спасибо!

В цилиндрическом сосуде под массивным поршнем находится 1,8 г гелия при температуре 47 . Газу медленно сообщают количество теплоты 3 . Во сколько раз увеличился объем газа? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.
Ответ:2,67 раза
Думаю, это неверно. В условии ни слова, что сосуд теплоизолирован, следовательно при медленном процессе температура газа будет, как снаружи,, значит неизменная. Давление тоже неизменно, тогда по уравнению К-М. объем не меняется. Где у меня ошибка, если она есть.

помогите пожалуйста решить задачу..."какова масса кислорода,содержащегося в баллоне объемом 50 лл при температуре 27 градусолв по цельсию и давлении 2*10 в 6?"