Задача. 7 класс.

На доске 50×50 на каждой клетке одной из главных диагоналей лежит монетка. Аня и Оля играют в игру, первая ходит Аня. За один ход каждая девочка сдвигает одну из монеток на одну клетку вниз. Если при этом монетка сходит с доски, девочка забирает её себе. Какое наибольшее количество монеток может забрать Аня независимо от игры Оли?

Допустим монетки расположены слева сверху направо вниз .
Аня первая двигает естественно монетку на 50 столбце нижнюю.
На 49 столбце Оля не будет двигать так как она станет на последнюю строку и сразу ее заберет Аня.
Нельзя ставить монетку на последнюю строку так как соперница следующим ходом заберет эту монетку.
Итак у Анны 1 монетка после первого хода остается свободных ходов:
На 48 столбце 1 ход
На 47 столбце 2 хода
На 46 столбце 3 хода
......
На 1 столбце 48 ходов
Итак это арифметическая прогрессия d=1 a1=1 a48=48
Sn=(a1+a48)*n/2= (1+48)*48/2=49*24=1176 свободных ходов после 1 хода Анны Это все равно как 2 хода четное число итак если остается два хода ходит Оля а потом Анна и больше не остается ходов Оле и остальные 49 монет тоже заберет Анна Итак все монеты заберет Анна!

В левом нижнем углу доски 4×4 стоит ладья. За один ход разрешается сдвинуть ладью на любое количество клеток вверх или любое количество клеток вправо. Двое по очереди делают ходы ладьёй, проигрывает тот, кто поставит ладью в правую верхнюю клетку. Заполните выигрышные и проигрышные позиции.

На столе лежит несколько камней. Двое по очереди забирают со стола 1, 4 или 5 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сопоставьте начальному количеству камней игрока, который выиграет при этом количестве камней.

8
9 первый игрок
10
11
12 второй игрок
13

Игрок участвует в турнире. Состоящем из 3-9 раундов.
Шанс победить в каждом раунде 50%
Игрок выбывает из турнира после 3 поражений, либо забирает главный приз при 7 победах.
Нужно узнать, каковы шансы закончить турнир с конкретным количеством побед (От 0 до 7)

Спасибо.

Из 30 участников секции 16 играют в шашки, 18 — в шахматы, 9 — в шашки и в шахматы, остальные в нарды. Для участия в соревнованиях по трем видам отбирают трех человек. Сколько способов получить команду, в которой каждый умеет играть только в одну игру?