Метод Грёффе-Лобачевского — это численный метод нахождения всех корней полинома одновременно.
Суть метода:
Berется многочлен P(x) со степенью n. Потом строится новый многочлен, корни которого равны квадратам исходных корней. Это достигается через произведение P(x)·P(-x) = Q(x^2). Процедуру повторяют несколько раз — после k итераций корни возведены в степень 2^k.
Когда корни по модулю различны, после многих итераций отношение соседних коэффициентов стабилизируется, и из них можно извлечь модули корней:
|r_i|^(2^k) ≈ |a_{i-1}/a_i|
отсюда |r_i| = (a_{i-1}/a_i)^{1/2^k}
Как применять:
1. Запишите коэффициенты многочлена
2. Проведите несколько итераций «возведения корней в квадрат»
3. Из стабилизировавшихся отношений коэффициентов найдите модули корней
4. Знаки и комплексные части определяются отдельно
Метод хорошо работает, когда корни существенно отличаются по модулю. Для близких или кратных корней требуются специальные модификации.