Турнир городов 7 октября 2012г.

Задачи 11 класса.

1. Таблица [m]m\times n[/m] заполняется по правилам игры в "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

2. Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?

3. В классе [m]20[/m] школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса. Докажите, что найдется такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников этого класса принял участие по меньшей мере в [m]\frac{1}{17}[/m] всех экскурсий.

4. Пусть [m]C(n)[/m] — количество различных простых делителей числа [m]n[/m].
а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел [m](a,b)[/m], что [m]a\neq b[/m] и [m]C(a+b)=C(a)+C(b)?[/m]
б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы [m]C(a+b)>1000?[/m]

5. Из [m]239[/m] неотличимых на вид монет две — одинаковые фальшивые, а остальные — одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее — фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.

Каждая задача оценивается по пятибалльной шкале. Задачи, состоящие из двух пунктов, оцениваются из расчета 2 баллов на первый пункт и 3 баллов на второй.

Подскажите, где можно посмотреть все задания турнира.

Задания опубликуются на сайте http://www.turgor.ru/
Эти мне принес ученик 11 класса. Ученики помладше участия не принимали.

Спасибо. У меня 8-классник умненький.

где [m]p_1,~p_2,~...~p_n[/m] — первые [m]n[/m] простых чисел, а [m]q_1,~q_2,~...~q_n[/m] — простые числа, не совпадающие ни с одним из [m]p_1,~p_2,~...~p_n[/m], и среди которых есть все простые делители числа [m]p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n -1[/m].
Тогда [m]C(a)=C(b)=n, C(a+b)=2n[/m].

Для ответа на пункт а) достаточно взять [m]a=(2 \cdot 3-1)5p=25p,~b=5p[/m], где [m]p[/m] — произвольное простое число, отличное от [m]2,~3,~5[/m]. Можно, конечно, еще проще: [m]a=5p,~b=p[/m]. Бесконечность количества пар следует из бесконечности множества простых чисел.
Для ответа на пункт б) берем [m]n=501[/m].

Задачу №3 не решал, а с ходу решения не вижу. Нужно думать. Может быть, кто-то из коллег выложит.

По задаче №5 выложу основной костяк решения, так как все случаи расписывать долго.
Первое взвешивание делается со 119 монетами на каждой стороне весов. При равенстве ясно, что на каждую сторону легло по одной либо более легкой, либо более тяжелой монете.
Взяв, например, монеты слева и добавив к ним еще 1 не взвешенную ранее монету, произведем взвешивание по 60 монет, а затем по 30. Все варианты легко анализируются.
Если на первом взвешивании, например, левая сторона оказалась легче, то это означает, что:
1) справа 1 тяжелая, и 1 не взвешенная тяжелая;
2) слева 1 легкая, и 1 не взвешенная легкая;
3) справа 2 тяжелых;
4) слева 2 легких.
Так же, как и ранее, возьмем 119 монет слева и добавим к ним 1 не взвешенную монету. Взвешивание по 60 монет отметет 2 случая из 4, а следующее взвешивание по 30 монет оставит 1 вариант.

Здесь выложены условия для всех классов.
http://www.uni.bsu.by/arrangements/imct/tg34/index.html